Lineare Gleichungen: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren

Lineare Gleichungen: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren

Lineare Gleichungen: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren

Lineare Gleichungen: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren

Lineare Gleichungen

  • Definition / Übersetzung
    • Linear = (gerade) Linie
    • Gleichung = zwei Terme haben die gleiche Aussage
  • Verwendung
    • Lineare Gleichungen (mit 2 Variablen)
      • die Lösung besteht aus einem Zahlenpaar
      • haben unendlich viele Lösungen
      • in der grafischen Darstellung aller Lösungen ergibt eine Gerade

Lineares Gleichungssystem

  • Definition
    • ein lineares Gleichungssystem ist die Verknüpfung von zwei lineare Gleichungen (siehe oben)
    • es gibt dazu 3 Verfahren: das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren

Einsetzungsverfahren

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Das Prinzip: die eine Gleichung wird in die andere Gleichung eingesetzt.

  • auflösen: eine der beiden Gleichungen wird nach einer Variablen aufgelöst (hier nach: 6y)
    • 6y + 6 = 2x + 28
    • 6 y – 4x = 14      | + 4x
    • 6 y = 14  + 4x   
  • einsetzen:
    • die eine Gleichung wird in die andere Gleichung eingesetzt
    • (sodass nur noch eine Variable in den Gleichungen übrig bleibt)
    • 6y + 6 = 2x + 28
    • 14  + 4x + 6 = 2x + 28
  • ausrechnen: nach der verbleibenden Variablen auflösen
    • 14  + 4x + 6 = 2x + 28       | – 2x
    • 14 + 6 + 2x = 28 | -20
    • 2x = 8
    • x = 4
  • einsetzen: die ausgerechnete Variable einsetzen, um die andere Variable zu erhalten.
  • Probe: beide Variablen einsetzen und ausrechnen.

Gleichsetzungsverfahren

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Das Prinzip: die Gleichungen werden gleich gesetzt, indem man

  • umformt: beide Gleichungen werden nach einer Variablen umgeformt
    • y – 4x = -11 | + 4x
    • y + 2x = 13 | – 2x
    • y =  -11 + 4x
    • y = 13 – 2x
  • gleichsetzt: die beiden Gleichungen werden gleichgesetzt
    • -11 + 4x = 13 – 2x 
  • auflöst: nach einer Variablen auflöst
    • -11 + 4x = 13 – 2x     | +2 x 
    • -11 + 6x = 13            |+11 
    • 6x = 24                     | /6
    • x = 4
  1. ein setzt: das Ergebnis einsetzt: für x wird 4 eingesetzt
    • y – 4x = -11            | + 4x
    • y – 4*4 = -11 
    • y – 16 = -11            | + 16
    • y = 5
  2. Probe:

Additionsverfahren

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Das Prinzip: die (gesamten) Gleichungen werden so addiert, das nur eine Variable in der Gleich übrig bleibt.

 

  • umformen: die Gleichungen mit einer Zahl multiplizieren, sodass bei der Addition eine Variable wegfällt.
    • 3x + 7y = 47  
    • -x + 3y = 11        | *3
    • -3x + 9y = 33    
  • addieren: die Gleichungen werden addiert
    • 3x + 7y = 47
    • -3x + 9y = 33        
    •   0  + 16y = 80      | /16
    • y = 5
  • einsetzen: die erhaltene Variable wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt
    • 3x + 7 y = 47 
    • 3x + 7*5 = 47 
    • 3x + 35 = 47        | -35
    • 3x = 12                | /3
    • x = 4

 

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