Prozentrechnung

Mathe - Prozentrechnung - verstehen, lernen, üben
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Prozentrechnung

Bedeutung und Schreibweise

  • Verwendung: Prozentrechnung kommt im wirklichen Leben ständig vor: Zinsen auf dem Sparkonto, Rabatte im Geschäft, … .
  • Definition: bei der Prozentrechnung geht es um ein Verhältnisrechnen.
  • Übersetzung: Prozent kommt von ‚pro cent‘ = je hundert
  • Prinzip: Bei der Prozentrechnung wird immer im Verhältnis zu 100 gerechnet.
  • man schreibt: %
  • Beispiel: 20% bedeutet: 20 von 100
    • heißt: wenn die Gesamtmenge 100 sind, sind 20% => 20
    • heißt: wenn die Gesamtmenge 200 sind, sind 20% => 40
    • heißt: wenn die Gesamtmenge 50 sind, sind 20% => 10
    • usw. …
  • Bestandteile:
    • Grundwert = das Ganze = 100
    • Anteil: Teil vom Ganzen
      • => Prozent: Anteil im Verhältnis zum Ganzen
  • Ziel:
    • Mit der Prozentangabe erhält man ein Verhältnis.
    • Dieses Verhältnis kann man vergleichen, auch wenn der Grundwert/ das Ganze unterschiedlich sind.
  • Beispiel: 
    • Tom kauft Äpfel für 1 Euro pro Stück beim Bauern und verkauft sie für 1,50 Euro;
      • d.h. er verdient 0,50 Euro auf jeden 1 Euro
      • d.h. er hat 50 Cent / 100 Cent = 50/100 = 0,5
      • 50% Gewinn
    • Peter kauft Himbeeren für 20 Euro pro Kilo beim Bauern und verkauft sie für 50 Euro pro Kilo;
      • d.h. er verdient 50-20 = 30 Euro auf 20 Euro
      • d.h. er hat 30 Euro / 20 Euro
      • auf 100 gerechnet: 150 Euro / 100 Euro = 150/100 = 15
      • 150% Gewinn
  • Begriffe
    • Grundwert = das Ganze (wird auf 100 gesetzt)
    • Prozentwert = (An-)Teil des Ganzen
    • Prozentsatz = Anteil in Prozent (%)
    • Verminderter Grundwert: wenn bei z.B. Rabatten der Grundwert / ‚das Ganze‘ reduziert wird. Dann ist der neue Preis der ‚verminderte Grundwert‘.
      • Preis vorher 100 Euro (Grundwert = 100)
      • Rabatt: 10% (Prozentsatz: 10%)
      • Verminderter Grundwert = 100 – 10 % = 90 (Euro)
    • Vermehrter Grundwert: wenn z.B. bei ‚Preiserhöhungen‘, der Grundwert / ‚das Ganze‘ erhöht wird. Dann ist der neue Preis der ‚vermehrte Grundwert.
      • Preis vorher 100 Euro (Grundwert = 100)
      • Preiserhöhung: 10% (Prozentsatz: 10 %)
      • Vermehrter Grundwert: 100 + 10 % = 110 (Euro)

Themen der Prozentrechnung

Brüche in Prozent schreiben

  • Beispiele
    • 1/4=25%
    • 2/5=40%
    • 45/1000=4,5%
    • 18/20=90%
    • 4 3/5=460% (gemischter Bruch)
    • 53/40=132,5%
  • Vorgehen: wie man Brüche in Prozent schreibt.
    • Erweitere oder kürze den Bruch so, dass im Nenner 100 steht, denn z.B. 25 /100 sind 25 Prozent. 
    • Beispiele: 
      • 3/5 => Zähler und Nenner mal 20 => 60/100 = 60% (mit 20 erweitert)
      • 15/300 => mit 3 kürzt => 5/100 = 5% (mit 3 gekürzt)

Brüche in Dezimalzahlen schreiben

Vorgehen: wie man Brüche in Dezimalzahlen schreibt.

  • Fall 1: im Bruch steht ein Vielfaches von 10:
    • Der Zähler wird übernommen und die Dezimalzahl enthält so viele Nachkommastellen wie es Nullen im Bruch gibt. 
    • Beispiele:
      • 3/10 = 0,3 
      • 5/100 = 0,05
      • 25/1000 = 0,025
  • Fall 2: Der Nenner hat keine Zehnerpotenz:
    • Man kürzt den Bruch soweit wie möglich und teilt den Zähler durch den Nenner.
    • Gehe hier genauso vor wie bei einer schriftlichen Division.
    • Beispiele:
      • 1/2 = 0,5
      • 3/4 = 0,75
      • 5/8 = 0,625
    • Dabei können auch periodische Dezimalzahlen entstehen, wenn sich die Nachkommastellen wiederholen: 
      • Beispiele:
        • 2/3 = 0,666666…
        • 8/99 = 0,080808…

Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Vorgehen: wie man Dezimalzahlen in Brüche schreibt

  • Zähle die Nachkommastellen von der Dezimalzahl.
  • Diese Anzahl gibt an wie viele Nullen im Nenner (wo das Vielfache von 10 steht) sein müssen.
  • Im Zähler steht die Zahl der Dezimalzahl (aber ohne Komma und Nullen).
  • Kürze den Bruch zum Schluss soweit wie möglich
  • Beispiele:
    • 0,05 = 5/100 => kürzen mit 5 => 1/200
    • 0,25 = 25/1000 => kürzen mit 25 => 1/40

Prozentzahl in Brüche umwandeln

Vorgehen: wie man Prozentzahlen in Brüche umwandelt.

  • Schreibe die Prozentzahl in den Zähler und
  • die 100 in den Nenner (dies ist der Grundwert)
  • Kürze nun den Bruch so weit wie möglich. 
  • Beispiele:
    • 20% = 20/100 => kürzen mit 5 => 1/5
    • 120% = 120/100 => kürzen mit 20 => 6/5
    • 2,5% = 2,5/100 => erweitern mit 10 => 25/1000 => dann kürzen mit 25 => 1/40

Prozentzahl in Dezimalzahl umwandeln

Textaufgaben Prozentrechnung

Vermehrter Grundwert

Verminderter Grundwert

Grundwert berechnen

 Prozentwert berechnen

Prozentsatz berechnen


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