Binomische Formeln

Binomische Formeln (Lineare Algebra)

Was sind Binomische Formeln?

Formeln, die die Berechnung von Termen und Aufgaben in Klammern vereinfachen:

• 1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• 2. Binomische Formel: (a – b)² = a² – 2ab + b²
• 3. Binomische Formel: (a + b) * (a – b) = a² – b²

Wozu braucht man Binomische Formeln?

• Flächenberechnungen: Berechnung der Fläche eines Quadrates, bei
  • Verlängerung der Seite a um b (Seitenlängen a werden um b verlängert: a+b)
  • Verkürzung der Seite a um b (Seitenlängen a werden um b verkürzt: a-b)
  • Verlängerung einer und Verkürzung der anderen Seite (die eine Seitenlänge a wird um b verlängert; die andere um b verkürzt)
• Kopfrechnen: einfache Berechnung von Quadratzahlen, durch
  • 1. Faktorierung (Zerlegung) der Zahl in einen Term (z.B. 17 in 10 und 7)
  • 2. Anwendung und Berechnung mit der Binomischen Formel
  • Beispiel:
    • 17² =
    • (10 + 7)² =
    • 10² + 2*10*7 + 7² =
    • 100 + 140 + 49 =
    • 289
• Kürzen: bei der Bruchrechnung können mittels binomischer Formeln Terme im Zähler und Nenner erzeugt werden, die dann gekürzt werden können.
• Wurzeln radizieren: Wurzeln quadrieren und mittels binomischer Formel vereinfachen

Übersicht Binomische Formeln zum Download

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Details und Hintergründe

• Grundlage: Multipliziert man Binome (zweigliederige Terme), kann man das Ergebnis zusammenfassen.
• Erforderliche Methoden: Ausmultiplizieren von Klammern (Distributionsgesetz)
  • jedes Glied in der einen Klammer wird mit jedem Glied in der anderen Summe multipliziert

• Wortbedeutung:
  • Bi = 2
  • nomisch = Namen / Terme
  • => 2-gliederige Terme: a + b

1. Binomische Formel: 

(a + b)² = a² + 2ab + b²

• Herleitung:
  • (a + b)² =
  • (a + b)*(a + b) =
  • a*a + a*b + b*a + b*b =
  • a² + 2ab + b²
• Herleitung – alternative Darstellung
• Foliensatz

• Anwendung
  • Flächenberechnung: Berechnung der Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge: a + b
  • Kopfrechnen mit der 1. Binomischen Formel
    • 17² =
    • (10 + 7) =
    • 10² + 2*10*7 + 7² =
    • 100 + 140 + 49 =
    • 289
• Onlineübungen
  • 1 Binomische Formel üben
  • Berechnung eines Terms: Onlineübung

2. Binomische Formel: 

(a – b)² = a² – 2ab + b²

• Herleitung:(a – b)² =(a – b)*(a – b) =a*a – a*b – b*a + b*b =a² – 2ab + b²
  • Herleitung – alternative Darstellung
  • Foliensatz

• Anwendung
  • Flächenberechnung: Berechnung der Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge: a – b
  • Kopfrechnen mit der 2. Binomischen Formel
    • 17² =
    • (20 – 3)²  =
    • 20² – 2*20*3 + 3² =
    • 400 – 120 + 9 =
    • 289

• Einfache Onlineübungen
  • 2 Binomische Formel üben
  • Berechnung eines Terms: Onlineübung
  • 1. und 2. binomische Formel: Onlineübung

3. Binomische Formel: 

(a + b) * (a – b) = a² – b²

• Erklärung:
  • Herleitung
  • Foliensatz
• Anwendung
  • Flächenberechnung: Berechnung einer Fläche, wenn a
    • auf einer Seite um b verlängert (a + b) und
    • auf der anderen Seite um b verkürzt (a – b) wird.
  • Kopfrechnen mit der 3. Binomischen Formel:
    • 53 * 47 =
    • (50+3) * (50-3) =
    • 50²– 3² =
    • 2500 – 9 =
    • 2491
• Onlineübungen
  • 3 Binomische Formel üben
  • Berechnung eines Terms: Onlineübung

Onlineübungen Binomische Formeln

• 1 Binomische Formel üben
• 2 Binomische Formel üben
• 3 Binomische Formel üben

Gemischte Onlineübungen

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• Aufgaben

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berechnet Aufgaben mit der 1., 2. oder 3. Binomischen Formel

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Binomischen Formeln mit höheren Potenzen

für Fortgeschrittene

Binomische Formel mit hoch 3

1. Formel: (a+b)³ = a³ + 3*a²*b + 3*a*b² + b³

Herleitung:

(a+b)³

=(a+b)² * (a+b) (vgl. erste Binomische Formel)

=(a² + 2ab + b²) * (a+b) (ausmultiplizieren)

= a*a² + a * 2ab + a * b² + b*a² + b * 2ab + b * b²

= a³ + 3*a² * b + 3*a*b² + b³

Beispiel:
(3z+2)³
=(3z)³ + 3*(3z)² * 2+3*3z*2²+2³
=27*z³ + 54z² + 36z+8

2. Formel: (a-b)³ = a³ – 3*a²*b +3*a*b² – b³

Binomische Formel mit hoch 4

Formel: (a+b)⁴ = a⁴ + 4a³*b + 6a²*b² + 4ab³ + b⁴
Formel: (a – b)⁴ = a⁴ – 4a³*b + 6a²*b² – 4ab³ + b⁴

Binomische Formel mit hoch 5

Formel: (a+b)⁵=a⁵ + 5a⁴*b + 10a³ * b² + 10a² *b³ + 5ab⁴ + b⁵
Formel: (a – b)⁵=a⁵ – 5a⁴*b + 10a³* b² – 10a²*b³ + 5ab⁴ – b⁵

Weiterführende Links

• Detailliertere Erläuterungen auf zum.de

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