Binomische Formeln

Binomische Formeln (Lineare Algebra)

Mathe Binomische Formeln
Mathe Binomische Formeln

Was sind Binomische Formeln?

Formeln, die die Berechnung von Termen und Aufgaben in Klammern vereinfachen:

  • 1. Binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
  • 2. Binomische Formel: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
  • 3. Binomische Formel: (a + b) * (a – b) = a2 – b2

Wozu braucht man Binomische Formeln?

  • Flächenberechnungen: Berechnung der Fläche eines Quadrates, bei
    • Verlängerung der Seite a um b (Seitenlängen a werden um b verlängert: a+b)
    • Verkürzung der Seite a um b (Seitenlängen a werden um b verkürzt: a-b)
    • Verlängerung einer und Verkürzung der anderen Seite (die eine Seitenlänge a wird um b verlängert; die andere um b verkürzt)
  • Kopfrechnen: einfache Berechnung von Quadratzahlen, durch
    • 1. Faktorierung (Zerlegung) der Zahl in einen Term (z.B. 17 in 10 und 7)
    • 2. Anwendung und Berechnung mit der Binomischen Formel
    • Beispiel:
      • 17=
      • (10 + 7)=
      • 102 + 2*10*7 + 7=
      • 100 + 140 + 49 =
      • 289
  • Kürzen: bei der Bruchrechnung können mittels binomischer Formeln Terme im Zähler und Nenner erzeugt werden, die dann gekürzt werden können.
  • Wurzeln radizieren: Wurzeln quadrieren und mittels binomischer Formel vereinfachen

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Details und Hintergründe

  • Grundlage: Multipliziert man Binome (zweigliederige Terme), kann man das Ergebnis zusammenfassen.
  • Erforderliche Methoden: Ausmultiplizieren von Klammern (Distributionsgesetz)
    • jedes Glied in der einen Klammer wird mit jedem Glied in der anderen Summe multipliziert
  • Wortbedeutung:
    • Bi = 2
    • nomisch = Namen / Terme
    • => 2-gliederige Terme: a + b

1. Binomische Formel: 

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

  • Herleitung:
    • (a + b)2 =
    • (a + b)*(a + b) =
    • a*a + a*b + b*a + b*b =
    • a2 + 2ab + b2
  • Herleitung – alternative Darstellung
  • Foliensatz
  • Anwendung
    • Flächenberechnung: Berechnung der Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge: a + b
    • Kopfrechnen mit der 1. Binomischen Formel
      • 172 =
      • (10 + 7) =
      • 102 + 2*10*7 + 72 =
      • 100 + 140 + 49 =
      • 289
  • Onlineübungen
1. Binomische Formel - Flächenberechnung
1. Binomische Formel – Flächenberechnung

2. Binomische Formel: 

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

  • Herleitung:(a – b)2 =(a – b)*(a – b) =a*a – a*b – b*a + b*b =a2 – 2ab + b2
  • Anwendung
    • Flächenberechnung: Berechnung der Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge: a – b
    • Kopfrechnen mit der 2. Binomischen Formel
      • 17=
      • (20 – 3) =
      • 202 – 2*20*3 + 3=
      • 400 – 120 + 9 =
      • 289
2. Binomische Formel - Flächenberechnung
2. Binomische Formel – Flächenberechnung

3. Binomische Formel: 

(a + b) * (a – b) = a2 – b2

  • Erklärung:
  • Anwendung
    • Flächenberechnung: Berechnung einer Fläche, wenn a
      • auf einer Seite um b verlängert (a + b) und
      • auf der anderen Seite um b verkürzt (a – b) wird.
    • Kopfrechnen mit der 3. Binomischen Formel:
      • 53 * 47 =
      • (50+3) * (50-3) =
      • 502– 32 =
      • 2500 – 9 =
      • 2491
  • Onlineübungen
3. Binomische Formel - Flächenberechnung
3. Binomische Formel – Flächenberechnung

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berechnet Aufgaben mit der 1., 2. oder 3. Binomischen Formel

Binomischen Formeln mit höheren Potenzen

für Fortgeschrittene


Binomische Formel mit hoch 3

  1. Formel: (a+b)3 = a3 + 3 * a2 * b + 3*a*b2 + b3

Herleitung:

(a+b)3

=(a+b)* (a+b) (vgl. erste Binomische Formel)

=(a2 + 2ab + b2) * (a+b) (ausmultiplizieren)

= a*a2 + a * 2ab + a * b+ b*a2 + b * 2ab + b * b2

= a3 + 3*a* b + 3*a*b2 + b3

Beispiel:
(3z+2)3
=(3z)3 + 3*(3z)2 * 2+3*3z*22+23
=27*z3 + 54z2 + 36z+8

2. Formel: (a-b)3 = a3 – 3*a2*b +3*a*b2 – b3

Binomische Formel mit hoch 4

Formel: (a+b)4 = a4 + 4a3*b + 6a2*b2 + 4ab3 + b4
Formel: (a – b)4 = a4 – 4a3*b + 6a2*b2 – 4ab3 + b4

Binomische Formel mit hoch 5

Formel: (a+b)5=a5 + 5a4*b + 10a3 * b2 + 10a2 *b3 + 5ab4 + b5
Formel: (a – b)5=a5 – 5a4*b + 10a3* b2 – 10a2*b3 + 5ab4 – b5

Weiterführende Links

  • Detailliertere Erläuterungen auf zum.de

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