Binomische Formeln
Binomische Formeln (Lineare Algebra)
Wie lauten die drei Binomischen Formeln?
Die 3 Formeln, die zur einfachen Berechnung von Aufgaben in Klammern genutzt werden, lauten:
| 1. Binomische Formel | (a + b)2 | = a2 + 2ab + b2 |
| 2. Binomische Formel | (a – b)2 | = a2 – 2ab + b2 |
| 3. Binomische Formel | (a + b) * (a – b) | = a2 – b2 |
Wofür braucht man Binomische Formeln?
- Flächenberechnungen: Berechnung der Fläche eines Quadrates, bei
- Verlängerung der Seite a um b (Seitenlängen a werden um b verlängert: a+b)
- Verkürzung der Seite a um b (Seitenlängen a werden um b verkürzt: a-b)
- Verlängerung einer und Verkürzung der anderen Seite (die eine Seitenlänge a wird um b verlängert; die andere um b verkürzt)
- Kopfrechnen: einfache Berechnung von Quadratzahlen, durch
- 1. Faktorierung (Zerlegung) der Zahl in einen Term (z.B. 17 in 10 und 7)
- 2. Anwendung und Berechnung mit der Binomischen Formel
- Beispiel:
- 172 =
- (10 + 7)2 =
- 102 + 2*10*7 + 72 =
- 100 + 140 + 49 =
- 289
- Kürzen: bei der Bruchrechnung können mittels binomischer Formeln Terme im Zähler und Nenner erzeugt werden, die dann gekürzt werden können.
- Wurzeln radizieren: Wurzeln quadrieren und mittels binomischer Formel vereinfachen
Binomische Formeln leicht erklärt
Die 1. Binomische Formel – leicht erklärt
Die 1. Binomische Formel lautet: (a + b)2 = a2 + 2*a*b + b2
Dazu kommt man,
- weil (a + b)2 das Gleiche ist, wie: (a + b) * (a + b)
und dann geht man wie folgt vor:
- jede Zahl* in der einen Klammer: (a + b)
- mit jeder Zahl in der anderen Klammer: (a + b)
- multiplizieren.
Fertig 🙂
Das Ergebnis ist dann: a2 + 2*a*b + b2
*oder Variable (hier a oder b)
Die 2. Binomische Formel – leicht erklärt
Die 2. Binomische Formel lautet: (a – b)2 = a2 – 2*a*b + b2
Dazu kommt man,
- weil (a – b)2 das Gleiche ist, wie: (a – b) * (a – b)
und dann geht man wie folgt vor:
- jede Zahl* in der einen Klammer: (a – b)
- mit jeder Zahl in der anderen Klammer: (a – b)
- multiplizieren.
Fertig 🙂
Das Ergebnis ist dann: a2 – 2*a*b + b2
*oder Variable (hier a oder b)
Die 3. Binomische Formel – leicht erklärt
Die 3. Binomische Formel lautet: (a + b) * (a – b) = a2 – b2
Dazu kommt man, indem man so vorgeht:
- jede Zahl* in der einen Klammer: (a + b)
- mit jeder Zahl in der anderen Klammer: (a – b)
- multiplizieren.
Fertig 🙂
Das Ergebnis ist dann: a2 – b2
*oder Variable (hier a oder b)
Alle 3 Binomischen Formeln im Überblick
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Details und Hintergründe
- Grundlage: Multipliziert man Binome (zweigliederige Terme), kann man das Ergebnis zusammenfassen.
- Erforderliche Methoden: Ausmultiplizieren von Klammern (Distributionsgesetz)
- jedes Glied in der einen Klammer wird mit jedem Glied in der anderen Summe multipliziert
- Wortbedeutung:
- Bi = 2
- nomisch = Namen / Terme
- => 2-gliederige Terme: a + b
1. Binomische Formel:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- Herleitung:
- (a + b)2 =
- (a + b)*(a + b) =
- a*a + a*b + b*a + b*b =
- a2 + 2ab + b2
- Herleitung – alternative Darstellung
- Foliensatz
- Anwendung
- Flächenberechnung: Berechnung der Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge: a + b
- Kopfrechnen mit der 1. Binomischen Formel
- 172 =
- (10 + 7) =
- 102 + 2*10*7 + 72 =
- 100 + 140 + 49 =
- 289
- Onlineübungen
- 1 Binomische Formel üben
- Berechnung eines Terms: Onlineübung
2. Binomische Formel:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
- Herleitung:(a – b)2 =(a – b)*(a – b) =a*a – a*b – b*a + b*b =a2 – 2ab + b2
- Herleitung – alternative Darstellung
- Foliensatz
- Anwendung
- Flächenberechnung: Berechnung der Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge: a – b
- Kopfrechnen mit der 2. Binomischen Formel
- 172 =
- (20 – 3)2 =
- 202 – 2*20*3 + 32 =
- 400 – 120 + 9 =
- 289
- Einfache Onlineübungen
- 2 Binomische Formel üben
- Berechnung eines Terms: Onlineübung
- 1. und 2. binomische Formel: Onlineübung
3. Binomische Formel:
(a + b) * (a – b) = a2 – b2
- Erklärung:
- Anwendung
- Flächenberechnung: Berechnung einer Fläche, wenn a
- auf einer Seite um b verlängert (a + b) und
- auf der anderen Seite um b verkürzt (a – b) wird.
- Kopfrechnen mit der 3. Binomischen Formel:
- 53 * 47 =
- (50+3) * (50-3) =
- 502– 32 =
- 2500 – 9 =
- 2491
- Flächenberechnung: Berechnung einer Fläche, wenn a
- Onlineübungen
- 3 Binomische Formel üben
- Berechnung eines Terms: Onlineübung
Onlineübungen Binomische Formeln
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berechnet Aufgaben mit der 1., 2. oder 3. Binomischen Formel
Binomischen Formeln mit höheren Potenzen
für Fortgeschrittene
Binomische Formel mit hoch 3
- Formel: (a+b)3 = a3 + 3*a2*b + 3*a*b2 + b3
Herleitung:
(a+b)3
=(a+b)2 * (a+b) (vgl. erste Binomische Formel)
=(a2 + 2ab + b2) * (a+b) (ausmultiplizieren)
= a*a2 + a * 2ab + a * b2 + b*a2 + b * 2ab + b * b2
= a3 + 3*a2 * b + 3*a*b2 + b3
Beispiel:
(3z+2)3
=(3z)3 + 3*(3z)2 * 2+3*3z*22+23
=27*z3 + 54z2 + 36z+8
2. Formel: (a-b)3 = a3 – 3*a2*b +3*a*b2 – b3
Binomische Formel mit hoch 4
Formel: (a+b)4 = a4 + 4a3*b + 6a2*b2 + 4ab3 + b4
Formel: (a – b)4 = a4 – 4a3*b + 6a2*b2 – 4ab3 + b4
Binomische Formel mit hoch 5
Formel: (a+b)5=a5 + 5a4*b + 10a3 * b2 + 10a2 *b3 + 5ab4 + b5
Formel: (a – b)5=a5 – 5a4*b + 10a3* b2 – 10a2*b3 + 5ab4 – b5
Weiterführende Links
- Detailliertere Erläuterungen auf zum.de
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