Binomische Formeln

Binomische Formeln (Lineare Algebra)

Was sind Binomische Formeln?

Formeln, die die Berechnung von Termen und Aufgaben in Klammern vereinfachen:

Flächenberechnungen: Berechnung der Fläche eines Quadrates, bei
- Verlängerung der Seite a um b (Seitenlängen a werden um b verlängert: a+b)
- Verkürzung der Seite a um b (Seitenlängen a werden um b verkürzt: a-b)
- Verlängerung einer und Verkürzung der anderen Seite (die eine Seitenlänge a wird um b verlängert; die andere um b verkürzt)
Kopfrechnen: einfache Berechnung von Quadratzahlen, durch
- 1. Faktorierung (Zerlegung) der Zahl in einen Term (z.B. 17 in 10 und 7)
- 2. Anwendung und Berechnung mit der Binomischen Formel
- Beispiel:
  - 17²=
  - (10 + 7)²=
  - 10² + 2*10*7 + 7²=
  - 100 + 140 + 49 =
  - 289
Kürzen: bei der Bruchrechnung können mittels binomischer Formeln Terme im Zähler und Nenner erzeugt werden, die dann gekürzt werden können.
Wurzeln radizieren: Wurzeln quadrieren und mittels binomischer Formel vereinfachen

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Grundlage: Multipliziert man Binome (zweigliederige Terme), kann man das Ergebnis zusammenfassen.
Erforderliche Methoden: Ausmultiplizieren von Klammern (Distributionsgesetz)
- jedes Glied in der einen Klammer wird mit jedem Glied in der anderen Summe multipliziert

Wortbedeutung:
- Bi = 2
- nomisch = Namen / Terme
- => 2-gliederige Terme: a + b

Herleitung:
- (a + b)² =
- (a + b)*(a + b) =
- a*a + a*b + b*a + b*b =
- a² + 2ab + b²
Herleitung – alternative Darstellung
Foliensatz

Anwendung
- Flächenberechnung: Berechnung der Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge: a + b
- Kopfrechnen mit der 1. Binomischen Formel
  - 17²=
  - (10 + 7) =
  - 10² + 2*10*7 + 7²=
  - 100 + 140 + 49 =
  - 289
Onlineübungen
- 1 Binomische Formel üben
- Berechnung eines Terms: Onlineübung

Herleitung:(a – b)² =(a – b)*(a – b) =a*a – a*b – b*a + b*b =a² – 2ab + b²
- Herleitung – alternative Darstellung
- Foliensatz

Anwendung
- Flächenberechnung: Berechnung der Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge: a – b
- Kopfrechnen mit der 2. Binomischen Formel
  - 17²=
  - (20 – 3)² =
  - 20² – 2*20*3 + 3²=
  - 400 – 120 + 9 =
  - 289

Einfache Onlineübungen
- 2 Binomische Formel üben
- Berechnung eines Terms: Onlineübung
- 1. und 2. binomische Formel: Onlineübung

Erklärung:
- Herleitung
- Foliensatz
Anwendung
- Flächenberechnung: Berechnung einer Fläche, wenn a
  - auf einer Seite um b verlängert (a + b) und
  - auf der anderen Seite um b verkürzt (a – b) wird.
- Kopfrechnen mit der 3. Binomischen Formel:
  - 53 * 47 =
  - (50+3) * (50-3) =
  - 50²– 3² =
  - 2500 – 9 =
  - 2491
Onlineübungen
- 3 Binomische Formel üben
- Berechnung eines Terms: Onlineübung