ggT und kgV

ggT und kgV üben

ggT und kgV üben

ggt ist der ‚größte gemeinsame Teiler‘ zweier Zahlen. kgV ist das ‚kleinste gemeinsame Vielfache‘.

Begriffe zur Bestimmung von ggT und kgV

  • Primfaktor = Zahl, die NUR durch 1 und sich selbst teilbar ist.
  • Quersumme = Summe der einzelnen Ziffern einer Zahl (24 = 2+4 = 6)
  • Teiler = die Zahl, durch die sich eine Zahl teilen lässt. (12 / 3 = 4, 3 ist ein Teiler von 12)
  • Vielfaches = die Zahl, die sich ergibt, wenn man eine Ausgangszahl mit einer natürlichen Zahl multipliziert. (2 * 3 = 6, 6 ist ein Vielfaches von 2)

ggT steht für ‚größter gemeinsamer Teiler

Der ggT von 2 Zahlen ist die größte Zahl durch die sich beide Zahlen teilen lassen. 

Beispiel: der größte gemeinsame Teiler von 9 und 6 ist 3, da beide durch (maximal) 3 teilbar sind.

Vorgehen zur Bestimmung des ggT

  • Beide Zahlen in ihre Primfaktoren (Primzahlen) zerlegen.
  • Die größte Zahl ermitteln, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen.

Beispiele

  • ggT von 20 und 24 
    • 20 = 4 * 5 
    • 20 = 2 * 2 * 5 (Primfaktoren)
    • 24 = 6 * 4
    • 24 = 2 * 3 * 2 * 2 (Primfaktoren) 
    • In beiden Primfaktorzerlegungen kommt die 2 x 2 als Teiler vor.
    • Der größte gemeinsame Teiler (man schreibt: ggT (20, 24)) = 2 * 2 = 4.
  • ggT von 405 und 716
    • 405: durch 5 teilbar und durch 9 teilbar
    • 405 = 5 * 9 * 9 
    • 405 = 5 * 3 * 3 * 3 * 3 (Primfaktoren)
    • 716: durch 4 teilbar
    • 716 = 4 * 179 
    • 716 = 2 * 2* 179 (Primfaktoren)
    • In beiden Primfaktorzerlegungen ist der gemeinsame Teiler nur die 1! Denn, alle Zahlen sind durch 1 teilbar. Die 2 Zahlen haben somit als ggT(405,716) = 1.

Tipp: Bei großen Zahlen sind die Teilbarkeitsregeln (siehe unten) sehr hilfreich!

ggT Übungsaufgaben

kgV = kleinstes gemeinsames Vielfaches

Das kgV von z.B. 2 Zahlen: ist die kleinste Zahl, welche die beiden Zahlen als Vielfaches gemeinsam haben.

Vorgehen zur Bestimmung des kgV

  • Beide Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegen.
  • ALLE Primfaktoren so oft wie möglich multiplizieren. (Also wie viele 2er oder 3er … gibt es höchstens?)

Beispiele

  • kgV von 20 und 24 
  • 20 = 4 * 5 
  • 20 = 2 * 2* 5 (Primfaktoren)
  • 24 = 6 * 4
  • 24 = 2 * 3 * 2 * 2 (Primfaktoren) 
  • Betrachtet man beide Primfaktorzerlegungen kommt
    • die 2 am häufigsten = dreimal vor
    • die 3 = einmal und
    • die 5 = einmal.
  • Das kleinstes gemeinsames Vielfaches ist also:
  • kgV(20,24) = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 120.

  • kgV von 405 und 716
  • 405:
    • ist durch 5 teilbar, weil die letzte Ziffer eine 5 ist und
    • durch 9 teilbar, weil die Quersumme 9 ist.
  • 405 = 5 * 9 * 9 
  • 405 = 5 * 3 * 3 * 3 * 3 (Primfaktoren)
  • 716:
    • durch 4 teilbar, weil die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind.
  • 716 = 4 * 179 
  • 716 = 2 * 2 * 179 (Primfaktoren)
  • Betrachtet man beide Primfaktorzerlegungen taucht
    • die 2 höchstens zweimal auf,
    • die 3 viermal,
    • die 5 einmal und
    • die 179 auch nur einmal. 
  • Das kleinstes gemeinsames Vielfaches ist:
  • kgV(405,716) = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 3 * 5 * 179 = 14490

kgV Übungsaufgaben

Teilbarkeitsregeln

zur Bestimmung des ggT und kgV

Sowohl zur Bestimmung des kgV als auch zur Bestimmung des ggT helfen die Teilbarkeitsregeln, um die Primfaktoren von großen Zahlen schneller zu bestimmen.

Die Teilbarkeitsregeln besagen, dass Zahlen

  • durch 2 teilbar sind, wenn sie gerade sind (d.h. die letzte Ziffer ist eine 0, 2, 4, 6 oder 8)
  • durch 3 teilbar sind, wenn die Quersumme der Zahl auch durch 3 teilbar ist.
  • durch 4 teilbar sind, wenn die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind. (Gilt nur für Zahlen größer als 100)
  • durch 5 teilbar sind, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist.
  • durch 6 teilbar sind, wenn die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist.
  • durch 8 teilbar sind, wenn die letzten drei Ziffern durch 8 teilbar sind. 
  • durch 9 teilbar sind, wenn die Quersumme der Zahl auch durch 9 teilbar ist.
  • durch 10 teilbar sind, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist.
  • durch 12 teilbar sind, wenn die Zahl durch 3 und durch 4 teilbar ist.
  • durch 15 teilbar sind, wenn die Zahl durch 3 und durch 5 teilbar ist.
  • durch 18 teilbar sind, wenn die Zahl durch 2 und durch 9 teilbar ist.

Vorgehen bei der Anwendung der Teilbarkeitsregeln:

  • 716 ist durch 4 teilbar, weil die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind.
  • 716 ist durch 2 teilbar, weil die Zahl gerade ist.
  • 405 durch 5 teilbar, weil die letzte Ziffer eine 5 ist
  • 405 ist durch 9 teilbar, weil die Quersumme 9 ist

Übungsaufgaben ggT und kgV

Tools

ggT = größter gemeinsamer Teiler

  • Hier den ggT einer Zahl berechnen lassen (zur Kontrolle von Aufgaben)

kgV = kleinstes gemeinsames Vielfaches

  • Hier das kgV einer Zahl berechnen lassen (zur Kontrolle von Aufgaben) 


Mathematikunterricht

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