Lineare Funktionen und lineare Gleichungen

Lineare Funktionen und lineare Gleichungen

Lineare Funktionen und lineare Gleichungen

Lineare Funktionen und lineare Gleichungen

 

Lineare Funktionen und lineare Gleichungen
Lineare Funktionen und lineare Gleichungen

Lineare Funktionen und lineare Gleichungen – Definitionen

  • Funktionen (f) =
    • Gleichung mit mindestens 2 Werten
    • Zuordnung von jedem x-Wert zu einem y-Wert (x => y)
  • Linear heißt ‚aus einer Linie bestehend‘; d.h. Lineare Funktionen sind Geraden
  • Lineare Funktionen: die allgemeine Form einer linearen Funktion ist y = mx + n
  • Steigung (m) des Graphen, gibt an, um wieviele Einheiten der y-Wert steigt oder fällt, wenn der x-Wert um 1 zunimmt.
  • y-Achsenabschnitt = n
  • Nullstelle: Schnittpunkt mit der x-Achse, wenn y = 0 ist.
  • proportionale Funktionen: die allgemeine Form einer proportionale Funktion ist y=m*x und verläuft durch den Ursprung (Punkt P(0/0)).
  • konstante Funktionen: die allgemeine Form einer konstanten Funktion ist y=n und verläuft parallel zur x-Achse. 

Weitere Erläuterungen

  • Details zu Linearen Funktionen
    • Punkt auf einer Geraden
    • Berechnung einer Steigung
    • Funktionsgleichung bestimmen

Lineare Funktionen und lineare Gleichungen – Übungen

Tools

  • Plotter: Funktionen zeichnen – Überprüfung durch Vergleichen mit dem Plotter

Aufgabentypen: Lineare Funktionen und lineare Gleichungen

Graphen zeichnen

  • P1 (x1 / y1):
    • x wird nach rechts oder links auf der x-Achse eingetragen (horizontale)
    • y wird nach oben oder unten auf der y-Achse eingetragen (vertikale)

 

Steigung berechnen

  • Steigung (m) gibt an, um wie viele Einheiten der y-Wert steigt oder fällt, wenn der x-Wert um 1 zunimmt.
  • Beispiel:
    • f(x) = 7 x + 3
    • Steigung (m) = 7
    • (Y-Achsenabschnitt = 3)
    • Der Y-Wert steigt also um 7 Einheiten, wenn der x-Wert um 1 zunimmt.
Lineare Funktionen - Formel für die Steigung m
Lineare Funktionen – Formel für die Steigung m

Funktionsgleichung aufstellen

Um einen Graphen zu bestimmen / Lineare Funktion(-sgleichung) aufzustellen:

  • Koordinaten ablesen (P1 (x1 / y1) und P2 (x2 / y2))
  • Steigung (m) berechnen
  • Einen von beiden Punkten auswählen und in die Gleichung: y = m • x + n einsetzen
  • Gleichung nach n (y-Achsenabschnitt) auflösen

Aufgabenalternativen: 

  • mithilfe von 2 Punkten
  • mithilfe der Steigung und einem Punkt
  • mithilfe von Informationen in Textform

Punktprobe

  • Definition: rechnerische Prüfung, ob ein gegebener Punkt auf dem Graphen liegt
  • Vorgehen:
    • Funktion aufstellen
    • m und n ausrechnen (indem man x und y eines gegebenen Punktes einsetzt)
    • Koordinaten des zu prüfenden Punktes (x1 und y1) in die gegebene Gleichung einsetzen
    • Ergebnis prüfen
  • Beispiel:
    • Gegeben ist der Punkt P(5I7) und die Funktion f: y=2x+0
    • Man setzt den Punkt in die Gleichung ein: 7 = 2*5 + 0
    • -> Der Punkt liegt nicht auf der Geraden, da die Gleichung nicht aufgeht 7 = 10 (falsch).
  • Onlineübung: Punktprobe
Lineare Funktionen - Steigung berechnen und Punktprobe
Lineare Funktionen – Steigung berechnen und Punktprobe

Nullstellen bestimmen

  • Definition:
    • Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse
    • x-Wert, bei dem der Schnittpunkt eben mit der x-Achse liegt.
    • Nullstelle: y = 0
  • Berechnung:
    • Die Funktion mit Null gleichsetzten und nach x auflösen:
    • y = 0 in die Formel einsetzen und nach x auflösen
    • y = mx + n = 0
  • Onlineübung: Nullstellen bestimmen
  • Weitere Onlineübung

Schnittpunkt bestimmen (Gleichsetzungsverfahren)

  • Definition:
    • Der Punkt, an dem sich 2 Geraden schneiden
    • Funktionswert ist bei beiden Geraden gleich: y1 = y 2
  • Onlineübung:
  • Vorgehen: 
    • Funktionen gleichsetzen
      • gegeben: f(x) = 3x +1 und g(x) = x – 1
      • gleichsetzen: 3x +1 = x – 1
    • Gleichung nach x auflösen
      • 3x + 1 = x – 1          /-x
      • 2x + 1 = -1               /-1
      • 2x = -2
      • x = – 1
    • x-Wert in eine der Geraden einsetzen und y berechnen
      • y = g(x) = x – 1 (x = -1)
      • y = g(x) = -1 – 1
      • y = g(x) = -2
      • S (-1 / -2)
  • Onlineübung: Schnittpunkt bestimmen
  • Weitere Onlineübung

 

 

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