Lineare Funktionen und lineare Gleichungen

Lineare Funktionen und lineare Gleichungen

Lineare Funktionen und lineare Gleichungen
Lineare Funktionen und lineare Gleichungen

Definitionen

  • Funktionen (f) =
    • Gleichung mit mindestens 2 Werten
    • Zuordnung von jedem x-Wert einen y-Wert (x => y)
  • Linear heißt ‚aus einer Linie bestehend‘; d.h. Lineare Funktionen sind Geraden
  • Lineare Funktionen: die allgemeine Form einer linearen Funktion ist y = mx + n
  • Steigung (m) des Graphen, gibt an, um wieviele Einheiten der y-Wert steigt oder fällt, wenn der x-Wert um 1 zunimmt.
  • y-Achsenabschnitt = n
  • Nullstelle: Schnittpunkt mit der x-Achse, wenn y = 0 ist.
  • proportionale Funktionen: die allgemeine Form einer proportionale Funktion ist y=m*x und verläuft durch den Ursprung (Punkt P(0/0)).
  • konstante Funktionen: die allgemeine Form einer konstanten Funktion ist y=n und verläuft parallel zur x-Achse. 

Weitere Erläuterungen

  • Details zu Linearen Funktionen
    • Punkt auf einer Geraden
    • Berechnung einer Steigung
    • Funktionsgleichung bestimmen

Onlineübungen

Tools

  • Plotter: Funktionen zeichnen – Überprüfung durch vergleichen mit dem Plotter

Aufgabentypen: Lineare Funktionen und lineare Gleichungen

Graphen zeichnen

  • P1 (x1 / y1):
    • y wird nach oben oder unten auf der y-Achse eingetragen (vertikale)
    • x wird nach rechts oder links auf der x-Achse eingetragen (horizontale)

Steigung berechnen

  • gibt an, um wieviele Einheiten der y-Wert steigt oder fällt, wenn der x-Wert um 1 zunimmt.
  • Beispiel:
    • f(x) = 7 x + 3
    • Steigung (m) = 7
    • Y-Achsenabschnitt = 3
Lineare Funktionen - Formel für die Steigung m
Lineare Funktionen – Formel für die Steigung m

Funktionsgleichung aufstellen

um einen Graphen zu bestimmen / Lineare Funktion(-sgleichung) aufzustellen:

  • Koordinaten ablesen (P1 (x1 / y1) und P2 (x2 / y2))
  • Steigung (m) berechnen
  • Einen von beiden Punkten auswählen und die Gleichung: y = m • x + n einsetzen
  • Gleichung nach n (y-Achsenabschnitt) auflösen

Aufgabenalternativen: 

  • mithilfe von 2 Punkten
  • mithilfe der Steigung und einem Punkt
  • mithilfe von Informationen in Textform

Punktprobe

  • Definition: rechnerische Prüfung, ob ein gegebener Punkt auf dem Graphen liegt
  • Vorgehen:
    • Funktion aufstellen
    • m und n ausrechnen (indem man x und y eines gegebenen Punktes einsetzt)
    • Koordinaten des zu prüfenden Punktes (x1 und y1) in die gegebene Gleichung einsetzen
    • Ergebnis prüfen
  • Beispiel:
    • Gegeben ist der Punkt P(5I7) und die Funktion f: y=2x+0
    • Man setzt den Punkt in die Gleichung ein: 7=2*5+0
    • -> Der Punkt liegt nicht auf der Geraden, da die Gleichung nicht aufgeht 7 = 10 (falsch).
  • Onlineübung: Punktprobe
Lineare Funktionen - Steigung berechnen und Punktprobe
Lineare Funktionen – Steigung berechnen und Punktprobe

Nullstellen bestimmen

  • Definition:
    • Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse
    • x-Wert, bei dem der Schnittpunkt mit der x-Achse liegt.
    • Nullstelle: y = 0
  • Berechnung:
    • y = 0 in die Formel einsetzen und ausrechnen
    • y = mx + n = 0
  • Onlineübung: Nullstellen bestimmen
  • Weitere Onlineübung

Schnittpunkt bestimmen (Gleichsetzungsverfahren)

  • Definition:
    • Der Punkt, an dem sich 2 Geraden schneiden
    • Funktionswert ist bei beiden Geraden gleich: y1 = y 2
  • Onlineübung:
  • Vorgehen: 
    • Funktionen gleichsetzen
      • gegeben: f(x) = 3x +1 und g(x) = x – 1
      • gleichsetzen: 3x +1 = x – 1
    • Gleichung nach x auflösen
      • 2x +1 = x – 1          /-x
      • x +1 = -1               /-1
      • x = -2
    • x-Wert in eine der Geraden einsetzen und y berechnen
      • y = g(x) = x – 1
        • x = -2
      • y = g(x) = -2 – 1
      • y = g(x) = -3
  • Onlineübung: Schnittpunkt bestimmen
  • Weitere Onlineübung

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