Termumformung

Definition und Grundlagen der Termumformung

Term: wird verwendet für alles, was eine Bedeutung trägt; in der Mathematik meint man: ‚Gebilde‘, die man ausrechnen kann.

Beispiel: x + y (x und y sind Variablen)

Mathe: Termumformung - gleichartiger Term und verschiedenartiger Term — Mathe: Termumformung – gleichartiger Term und verschiedenartiger Term

Gleichartige Terme – gleichwertige Terme: der Term enthält nur Variablen einer Art (z.B. ‚a‘). Diese kann man zusammenfassen.

Beispiel: 2a + 3a = 5a

Verschiedenartige Terme – verschiedenwertige Terme: der Term enthält Variablen mehrerer Art (z.B. ‚a‘ und ‚b‘). Solche Terme lassen sich nicht zusammenfassen!

Beispiel: 2a + 3b = …

Termumformung: Terme kann man umformen und mit anderen Ausdrücken darstellen (um einfacher damit Weiterrechnen zu können).

Beispiel: Binomische Formel: (a+b)² = a² + 2*a*b + b²

Äquivalenzumformung

Bei der Äquivalenzumformung geht es darum, Gleichungen umzuformen, um einfacher damit Weiterrechnen zu können.

Wichtige Begriffe der Äquivalenzumformung

Gleichung: Eine Gleichung enthält auf beiden Seiten Terme, die nach einer Variablen umgeformt werden können. D.h. zwei Terme werden gleichgestellt.
Variable: Unbekannte, Platzhalter für eine Zahl (z.B. a, b, c, x, …)

Wichtig: Bei der Äquivalenzumformungen haben beide Seiten der Gleichungen denselben Wert.

Wie formt man Gleichungen um?

Ziel: (Die Variablen) auf eine Seite und die Zahlen auf eine Seite zu bringen bzw. zusammenzufassen (,um Terme zu vereinfachen)
Vorgehen: Rechenoperation umkehren
- liegt eine Addition / Subtraktion vor, muss auf beiden Seiten (Zeichen: | ) subtrahiert / addiert werden.
- liegt eine Multiplikation / Division vor, muss auf beiden Seiten dividiert / multipliziert werden.
Beispiel:
- 2x + 4 = 10 |-4
- 2x = 6 |/2
- x = 3
Allgemein gilt: Multiplikation mit 0, lässt sich nicht umkehren, da man nicht durch 0 teilen darf!
- Beispiel: 0 * x + 7 = 15 |/0 ist nicht möglich

Gesetze für die Termumformung

Regeln für die Termumformung:
- Klammern setzen: haben zwei Terme einen gemeinsamen Faktor, kann dieser ausgeklammert werden.
  - Beispiel: 16x + 8 – 24 y = 4 (4x + 2 – 6y) – hier ist die ‚4‘ der gemeinsame Faktor.
- Klammern auflösen:
  - Eine Klammer: Jedes Glied in der Klammer wird mit jedem Glied außerhalb der Klammer multipliziert.
    - Beispiel: 3x + 7 (5 – 2x) = 3x + 7*5 – 7*2x = 3x + 35 – 14 x = 35 – 11x
  - Mehrere Klammern: Jeder Term in der ersten Klammer wird mit jedem Term in der zweiten Klammer multipliziert.
    - Beispiel: (3x + 5) (7x – 2) = 3x*7x + 3x*(-2) + 5*7x + 5*(-2) = 21x² – 6x + 35x – 10 = 50x – 10
- Minusregeln:
  - Minus x Plus = Minus
  - Minus x Minus = Plus
    - Beispiel: (-3) * (-3)= +9
    - Beispiel: – (-x) = +x
    - Beispiel: − (x + y) = − x – y
    - Beispiel: – (x – y) = (-x) + y
  - Trick: man stellt sich eine 1 vor der Klammer vor:
    - 6x – (4x – 5) =
    - 6x – 1* (4x – 5) =
    - 6x – 1*4x – 1 *(-5) =
    - 6x – 4x + 5 =
    - 2x + 5
  - Fazit: Minus vor der Klammer dreht die Vorzeichen um – wenn man die Klammer auflöst.