Reelle Zahlen

Reelle Zahlen setzen sich aus den rationalen und irrationalen Zahlen zusammen.

Reelle Zahlen - Rationale Zahl - Symbol Q
  • Rationale Zahlen =
    • Zahlen, die man als Bruchzahlen schreiben kann
    • Zahlen, die man auf einem Zahlenstrahl eintragen kann.
      • Abbrechende Dezimalzahlen*: 1/4 = 0,25
      • Periodische Dezimalzahlen**: 1/3 = 0,333333…
    • Symbol: Q mit 2 Strichen
    • Quiz Rationale Zahlen
Reelle Zahlen - Irrationale Zahl - Symbol I
  • Irrationale Zahlen = können nicht als Bruchzahl dargestellt werden
    • Nicht-periodische Dezimalzahlen:
      • unendlich viele Stellen hinter dem Komma
      • nicht periodische Zahlen hinter dem Komma
    • Symbol: I mit 2 Strichen
    • Beispiel:
      • pi = 3,1415926…
      • Eulersche Zahl = 2,718281828…
      • Wurzel aus 2 = 1,41421356…
    • Quiz Irrationale Zahlen

Wurzeln

  • Begriffe
    • Wurzel: √
    • Radikand = Zahl unter der Wurzel
    • Betrag: Lösung einer Wurzel
  • Definition: Wurzeln sind die ‚Rückrechnung‘ einer quadratischen Gleichung.
    • Beispiel:
      • √9 = 3
      • genauer: +3 / -3
      • denn +32 = 9 und -32 = 9
      • also ist die Wurzel aus 9 = +3 und -3
  • d.h. Wurzeln können die Hochzahlen eliminieren / aufheben.
  • die Lösung einer Wurzel kann positiv oder negativ sein
    • Beispiel:
      • bei der Wurzel aus 32 (andere Darstellung: √32 ) kann die Wurzel und das hoch 2 weggestrichen werden.
      • √(32 ) = 3
  • Achtung: Die Zahl unter den Wurzeln (Radikand) kann nie negativ sein (da eine Zahl mit sich selbst multipliziert, immer positiv ist)
    • Beispiel:
      • Wurzel aus -169 nicht möglich, aber
      • Wurzel aus 169 = 13 oder -13 (rationale Zahl)
        • -132 = -13 x -13  =169
        • 132 = 13 x 13  =169
  • Merke also: die Lösung einer Wurzel hat immer ! 2 Lösungen. Man sagt auch: der Betrag einer Zahl.
  • Quiz Wurzeln

Wurzelterme

Wurzelterme sind Terme, die Wurzeln enthalten. Sie können durch

  • Ausmultiplizieren
  • Binomische Formeln
  • Ausklammern gelöst werden.

Wurzelterme werden also wie normale Terme behandelt und können mit den bisherigen Methoden für Terme gelöst werden.

Wurzelgesetze

Wurzelgesetze ermöglichen das Rechnen mit Wurzeln

  • Addition / Subtraktion: Wurzel können nur addiert / subtrahiert werden, wenn der Radikand gleich ist!
    • Beispiel: 5 * √2 – 2 * √2 = 3 * √2
  • Multiplikation: Wurzeln werden multipliziert, indem die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden (Zahl unter den Wurzeln) berechnet wird. Also Wurzel aus 1. Radikand * 2. Radikand.
    • Beispiel: √4 * √3 = √12 
  • Division: Wurzeln werden dividiert, indem die Wurzel aus dem Bruch der beiden Radikanden berechnet wird. Der erste Radikand steht im Zähler und der zweite Radikand im Nenner.
    • Beispiel: √6 / √3 = √6/3 = √2
  • Weitere Informationen dazu

Quizze dazu

  • *Dezimalzahlen = erhält man, wenn man beim Bruch den Zähler durch den Nenner teilt.
  • ** Periodisch: ständig wiederholende Zahlenfolge.









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