Reelle Zahlen

Reelle Zahlen setzen sich aus den rationalen und irrationalen Zahlen zusammen.

Rationale Zahlen =
- Zahlen, die man als Bruchzahlen schreiben kann
- Zahlen, die man auf einem Zahlenstrahl eintragen kann.
  - Abbrechende Dezimalzahlen*: 1/4 = 0,25
  - Periodische Dezimalzahlen**: 1/3 = 0,333333…
- Symbol: Q mit 2 Strichen
- Quiz Rationale Zahlen

Irrationale Zahlen = können nicht als Bruchzahl dargestellt werden
- Nicht-periodische Dezimalzahlen:
  - unendlich viele Stellen hinter dem Komma
  - nicht periodische Zahlen hinter dem Komma
- Symbol: I mit 2 Strichen
- Beispiel:
  - pi = 3,1415926…
  - Eulersche Zahl = 2,718281828…
  - Wurzel aus 2 = 1,41421356…
- Quiz Irrationale Zahlen

Begriffe
- Wurzel: √
- Radikand = Zahl unter der Wurzel
- Betrag: Lösung einer Wurzel
Definition: Wurzeln sind die ‚Rückrechnung‘ einer quadratischen Gleichung.
- Beispiel:
  - √9 = 3
  - genauer: +3 / -3
  - denn +3² = 9 und -3² = 9
  - also ist die Wurzel aus 9 = +3 und -3
d.h. Wurzeln können die Hochzahlen eliminieren / aufheben.
die Lösung einer Wurzel kann positiv oder negativ sein
- Beispiel:
  - bei der Wurzel aus 3² (andere Darstellung: √3² ) kann die Wurzel und das hoch 2 weggestrichen werden.
  - √(3² ) = 3

Achtung: Die Zahl unter den Wurzeln (Radikand) kann nie negativ sein (da eine Zahl mit sich selbst multipliziert, immer positiv ist)
- Beispiel:
  - Wurzel aus -169 nicht möglich, aber
  - Wurzel aus 169 = 13 oder -13 (rationale Zahl)
    - -13² = -13 x -13 =169
    - 13² = 13 x 13 =169
Merke also: die Lösung einer Wurzel hat immer ! 2 Lösungen. Man sagt auch: der Betrag einer Zahl.
Quiz Wurzeln

Wurzelterme sind Terme, die Wurzeln enthalten. Sie können durch

Wurzelterme werden also wie normale Terme behandelt und können mit den bisherigen Methoden für Terme gelöst werden.

Wurzelgesetze ermöglichen das Rechnen mit Wurzeln

Addition / Subtraktion: Wurzel können nur addiert / subtrahiert werden, wenn der Radikand gleich ist!
- Beispiel: 5 * √2 – 2 * √2 = 3 * √2
Multiplikation: Wurzeln werden multipliziert, indem die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden (Zahl unter den Wurzeln) berechnet wird. Also Wurzel aus 1. Radikand * 2. Radikand.
- Beispiel: √4 * √3 = √12
Division: Wurzeln werden dividiert, indem die Wurzel aus dem Bruch der beiden Radikanden berechnet wird. Der erste Radikand steht im Zähler und der zweite Radikand im Nenner.
- Beispiel: √6 / √3 = √6/3 = √2