Lineare Gleichungssysteme: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren

Lineare Gleichungssysteme: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren

Lineare Gleichungssysteme: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren

Lineare Gleichungen

  • Definition / Übersetzung
    • Linear = (gerade) Linie
    • Gleichung = zwei Terme haben die gleiche Aussage
  • Lineare Gleichung definieren Geraden
  • Lineare Gleichungen (mit 2 Variablen) können
    • eine Lösung = Schnittpunkt haben
      • dann ist es eine eindeutige Lösung
      • die Graphen der beiden linearen Gleichungen schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt ( x = 10, y = -2)
    • unendlich viele Lösungen haben
      • die Graphen der beiden linearen Gleichungen sind identisch
    • keine Lösung haben (die Lösungsmenge ist leer)
      • die Graphen der beiden linearen Gleichungen sind parallel zueinander, sie haben keinen gemeinsamen Punkt
Lineare Gleichungssysteme: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren

Lineares Gleichungssystem

  • Definition
    • ein lineares Gleichungssystem ist die Verknüpfung von zwei lineare Gleichungen (siehe oben)
    • es gibt dazu 3 Verfahren: das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren

Einsetzungsverfahren

Das Prinzip: bei zwei verschiedenen Gleichungen, wird die eine Gleichung in die andere Gleichung eingesetzt

Gegeben sind zum Beispiel 2 Gleichungen:

  1. Gleichung: 6y + 6 = 2x + 28
  2. Gleichung: 6y – 4x = 14

Vorgehen:

  • 1. Auflösen: eine der beiden Gleichungen wird nach einer Variablen aufgelöst (hier nach: 6y)
    • 6y – 4x = 14      | + 4x
    • 6y = 14  + 4x   
  • 2. Einsetzen:
    • die eine Gleichung wird in die andere Gleichung eingesetzt
    • (sodass nur noch eine Variable in den Gleichungen übrig bleibt)
    • 6y + 6 = 2x + 28
    • 14  + 4x + 6 = 2x + 28
  • 3. Ausrechnen: nach der verbleibenden Variablen auflösen
    • 14  + 4x + 6 = 2x + 28       | – 2x
    • 14 + 6 + 2x = 28 | -20
    • 2x = 8
    • x = 4
  • einsetzen: die ausgerechnete Variable einsetzen, um die andere Variable zu erhalten.
  • Probe: beide Variablen einsetzen und ausrechnen.
  • Übungen dazu

Gleichsetzungsverfahren

Das Prinzip: die Gleichungen werden gleich gesetzt.

Gegeben sind zum Beispiel:

  1. Gleichung: y – 4x = -11
  2. Gleichung: y + 2x = 13

Vorgehen:

  • 1. Umformen: beide Gleichungen werden nach einer Variablen umgeformt
    • y – 4x = -11 | + 4x
    • y =  -11 + 4x
    • und
    • y + 2x = 13 | – 2x
    • y = 13 – 2x
  • 2. Gleichsetzen: die beiden Gleichungen werden gleichgesetzt
    • -11 + 4x = 13 – 2x 
  • 3. Auflösen: nach einer Variablen auflöst
    • -11 + 4x = 13 – 2x     | +2 x 
    • -11 + 6x = 13            |+11 
    • 6x = 24                     | /6
    • x = 4
  • 4. Einsetzen: das Ergebnis einsetzen: für x wird 4 eingesetzt
    • y – 4x = -11            | + 4x
    • y – 4*4 = -11 
    • y – 16 = -11            | + 16
    • y = 5
  • Übungen dazu

Additionsverfahren

Das Prinzip: die (gesamten) Gleichungen werden so addiert, das nur eine Variable in der Gleichung übrig bleibt.

Gegeben sind z.B:

  1. Gleichung: 3x + 7y = 47
  2. Gleichung: -x + 3y = 11
  • 1. Umformen: eine Gleichung wird mit einer Zahl multipliziert, sodass bei der (späteren) Addition eine Variable wegfällt.   
    • -x + 3y = 11        | *3
    • -3x + 9y = 33    
  • 2. Addieren: die Gleichungen werden addiert
    • 3x + 7y = 47
    • -3x + 9y = 33        
    • 0x  + 16y = 80      | /16
    • y = 5
  • 3. Einsetzen: die erhaltene Variable wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt
    • 3x + 7 y = 47 
    • 3x + 7*5 = 47 
    • 3x + 35 = 47        | -35
    • 3x = 12                | /3
    • x = 4
  • Übungen dazu

Onlineübungen


Mathematikunterricht

Viele weitere hilfreiche Infos für den Matheunterricht.


Was ist onlineuebung.de? 

onlineuebung.de ist eine kostenlose Lernplattform, für Schülerinnen und Schüler mit Informationen, Links und Onlineübungen.

onlineuebung.de kann man kostenlos abonnieren / folgen und so über Aktualisierungen, neue Inhalte, Aktionen, etc. auf dem Laufenden bleiben.