Prozentrechnung

Bedeutung und Schreibweise

Verwendung: Prozentrechnung kommt im wirklichen Leben ständig vor: Zinsen auf dem Sparkonto, Rabatte im Geschäft, … .
Definition: bei der Prozentrechnung geht es um ein Verhältnisrechnen.
Übersetzung: Prozent kommt von ‚pro cent‘ = je hundert
Prinzip: Bei der Prozentrechnung wird immer im Verhältnis zu 100 gerechnet.
man schreibt: %
Beispiel: 20% bedeutet: 20 von 100
- heißt: wenn die Gesamtmenge 100 sind, sind 20% => 20
- heißt: wenn die Gesamtmenge 200 sind, sind 20% => 40
- heißt: wenn die Gesamtmenge 50 sind, sind 20% => 10
- usw. …
Bestandteile:
- Grundwert = das Ganze = 100
- Anteil: Teil vom Ganzen
  - => Prozent: Anteil im Verhältnis zum Ganzen
Ziel:
- Mit der Prozentangabe erhält man ein Verhältnis.
- Dieses Verhältnis kann man vergleichen, auch wenn der Grundwert/ das Ganze unterschiedlich sind.
Beispiel:
- Tom kauft Äpfel für 1 Euro pro Stück beim Bauern und verkauft sie für 1,50 Euro;
  - d.h. er verdient 0,50 Euro auf jeden 1 Euro
  - d.h. er hat 50 Cent / 100 Cent = 50/100 = 0,5
  - 50% Gewinn
- Peter kauft Himbeeren für 20 Euro pro Kilo beim Bauern und verkauft sie für 50 Euro pro Kilo;
  - d.h. er verdient 50-20 = 30 Euro auf 20 Euro
  - d.h. er hat 30 Euro / 20 Euro
  - auf 100 gerechnet: 150 Euro / 100 Euro = 150/100 = 15
  - 150% Gewinn
Begriffe
- Grundwert = das Ganze (wird auf 100 gesetzt)
- Prozentwert = (An-)Teil des Ganzen
- Prozentsatz = Anteil in Prozent (%)
- Verminderter Grundwert: wenn bei z.B. Rabatten der Grundwert / ‚das Ganze‘ reduziert wird. Dann ist der neue Preis der ‚verminderte Grundwert‘.
  - Preis vorher 100 Euro (Grundwert = 100)
  - Rabatt: 10% (Prozentsatz: 10%)
  - Verminderter Grundwert = 100 – 10 % = 90 (Euro)
- Vermehrter Grundwert: wenn z.B. bei ‚Preiserhöhungen‘, der Grundwert / ‚das Ganze‘ erhöht wird. Dann ist der neue Preis der ‚vermehrte Grundwert.
  - Preis vorher 100 Euro (Grundwert = 100)
  - Preiserhöhung: 10% (Prozentsatz: 10 %)
  - Vermehrter Grundwert: 100 + 10 % = 110 (Euro)

Erklärvideo

Themen der Prozentrechnung

Brüche in Prozent schreiben

Beispiele
- 1/4=25%
- 2/5=40%
- 45/1000=4,5%
- 18/20=90%
- 4 3/5=460% (gemischter Bruch)
- 53/40=132,5%

Vorgehen: wie man Brüche in Prozent schreibt.
- Erweitere oder kürze den Bruch so, dass im Nenner 100 steht, denn z.B. 25 /100 sind 25 Prozent.
- Beispiele:
  - 3/5 => Zähler und Nenner mal 20 => 60/100 = 60% (mit 20 erweitert)
  - 15/300 => mit 3 kürzt => 5/100 = 5% (mit 3 gekürzt)

Brüche in Dezimalzahlen schreiben

Vorgehen: wie man Brüche in Dezimalzahlen schreibt.

Fall 1: im Bruch steht ein Vielfaches von 10:
- Der Zähler wird übernommen und die Dezimalzahl enthält so viele Nachkommastellen wie es Nullen im Bruch gibt.
- Beispiele:
  - 3/10 = 0,3
  - 5/100 = 0,05
  - 25/1000 = 0,025
Fall 2: Der Nenner hat keine Zehnerpotenz:
- Man kürzt den Bruch soweit wie möglich und teilt den Zähler durch den Nenner.
- Gehe hier genauso vor wie bei einer schriftlichen Division.
- Beispiele:
  - 1/2 = 0,5
  - 3/4 = 0,75
  - 5/8 = 0,625
- Dabei können auch periodische Dezimalzahlen entstehen, wenn sich die Nachkommastellen wiederholen:
  - Beispiele:
    - 2/3 = 0,666666…
    - 8/99 = 0,080808…

Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Vorgehen: wie man Dezimalzahlen in Brüche schreibt

Zähle die Nachkommastellen von der Dezimalzahl.
Diese Anzahl gibt an wie viele Nullen im Nenner (wo das Vielfache von 10 steht) sein müssen.
Im Zähler steht die Zahl der Dezimalzahl (aber ohne Komma und Nullen).
Kürze den Bruch zum Schluss soweit wie möglich
Beispiele:
- 0,05 = 5/100 => kürzen mit 5 => 1/200
- 0,25 = 25/1000 => kürzen mit 25 => 1/40

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Prozentzahl in Brüche umwandeln

Vorgehen: wie man Prozentzahlen in Brüche umwandelt.

Schreibe die Prozentzahl in den Zähler und
die 100 in den Nenner (dies ist der Grundwert)
Kürze nun den Bruch so weit wie möglich.
Beispiele:
- 20% = 20/100 => kürzen mit 5 => 1/5
- 120% = 120/100 => kürzen mit 20 => 6/5
- 2,5% = 2,5/100 => erweitern mit 10 => 25/1000 => dann kürzen mit 25 => 1/40