Potenzen und Potenzgesetze
Potenzen und Potenzgesetze kennenlernen
- Potenzen: Eine Potenz ist ein Ausdruck, zur Beschreibung der Multiplikation von gleichen Zahlen (d.h. eine Zahl wird mit sich selber multipliziert).
- Potenzgesetze: Regeln, die beschreiben, wie man mit Potenzen rechnet.
Potenzen und Potenzgesetze
Begriffe der Potenzrechnung
- Basis
- Basis ist die Zahl unter der Hochzahl
- Basis ist die Zahl, die multipliziert wird
- Beispiel 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81
- 3 ist die Basis
- Exponent
- Exponent ist die Hochzahl
- gibt an, wie oft die Basis mit sich selber multipliziert werden soll
- Beispiel: 52 = 5 * 5 = 25
- 2 ist der Exponent (die 5 wird 2-mal multipliziert)
- Potenz
- Potenz ist der Ausdruck, bestehend aus Exponent und Basis
- Beispiel: 23 ist eine Potenz
Besondere Potenzen
- Zehnerpotenz = Potenzen mit der Basis 10
- Beispiel: 102 = 100
- eine 1 mit 2 Nullen
- es gilt hier: die Hochzahl gibt an, wie viele Nullen hinter der 1 kommen!
- Potenzen mit negativer Basis
- Beispiel: (-5)3 = (-5) * (-5) * (-5) = -125
- es gilt: ist der Exponent ungerade, so ist das Ergebnis negativ, ist der Exponent gerade, so ist das Ergebnis positiv.
- Potenzen mit negativem Exponenten
- Beispiel: 2-3 = 1/23
- Es wird der Kehrbruch gebildet und mit dem positiven Exponenten gerechnet!
- d.h. die 1 ist der Zähler und die Potenz wandert mit dem positiven Exponenten in den Nenner.
- Potenzen mit dem Exponenten 0
- Beispiel: 50 = 1
- Merke: Sobald der Exponent 0 ist, ist die Lösung der Potenz 1
- allgemein: a0 = 1
- Brüche als Basis
- Beispiel: (1/2)3 = 13 / 23 = 1/8
- Merke: Der Exponent wird in den Zähler UND in den Nenner gezogen.
Potenzgesetze: Rechnen mit Potenzen
Potenzgesetz zur Addition und Subtraktion
- Potenzen können nur addiert/subtrahiert werden, wenn die Basis UND der Exponent gleich sind:
- Beispiel: 32 + 32 = 2 * (32) = 2 * (3*3) = 18
- Merke: Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten und Basis kann man nicht addieren/subtrahieren!
Potenzgesetz zur Multiplikation
- Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden.
- Beispiel: 42 * 43 = 4(2+3) = 45
- Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem die Basis multipliziert wird.
- Beispiel: 23 * 63 = (2 * 6)3 = 123
Merke: bei der Multiplikation von Potenzen immer auf die Exponenten und die Basis achten, wenn beide unterschiedlich sind, kann man keine Multiplikation durchführen!
Potenzgesetz zur Division
- Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem die beiden Exponenten subtrahiert werden.
- Beispiel: 62 / 65 = 6(2-5) = 6-3 = 1/63
- Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem die Basis von den beiden Potenzen dividiert wird.
- Beispiel: 62 / 32 = (6/3)2 = 22 = 4
Merke: bei der Division von Potenzen immer auf die Exponenten und die Basis achten, wenn beide unterschiedlich sind, kann man keine Division durchführen!
Potenzen potenzieren
- Potenzen werden potenziert, indem die Hochzahlen multipliziert werden.
- Beispiel: (42)5 = 4(2*5) = 410
Wurzeln aus Potenzen ziehen
- Die Wurzel aus den Potenzen werden gezogen, indem die Basis unverändert bleibt und als Exponent ein Bruch entsteht.
- Für den erzeugten Bruch im Exponenten gilt: Der Wurzelexponent ist der Zähler und der Potenzexponent kommt in den Nenner.
- Beispiel: 4. Wurzel aus 35 = 3(4/5)
Zahlenwerte
(relevant für Zehnerpotenzen)
- 101 = 10
- 102 = 100 = Hundert
- 103 = 1.000 = Tausend
- 104 = 10.000 = Zehn-Tausend
- 105 = 100.000 = Hundert-Tausend
- 106 = 1.000.000 = Million
- 107 = 10.000.000
- 108 = 100.000.000
- 109 = 1.000.000.000 = Milliarde
- …
- 1012 = 1.000.000.000.000 = Billion
- …
- 1015 = 1.000.000.000.000.000 = Billiarde
- …
- 1018 = 1.000.000.000.000.000.000 = Trillion
- …
- 1021 = 1.000.000.000.000.000.000.000 = Trilliarde
Potenzen und Potenzgesetze – Aufgaben und Übungen
- Wähle aus – Schreibweise von Zehnerpotenzen
- Wähle aus – Bezeichnungen von Zehnerpotenzen
- Quiz zu den Begriffen
- Quiz zu den Zahlenwerten
- Diverse Aufgaben zur 10er-Potenz – von leicht bis schwer
- Einfache Potenzen – nicht zur 10er-Potenzen