Potenzen und Potenzgesetze

Potenzen und Potenzgesetze kennenlernen

  • Potenzen: Eine Potenz ist ein Ausdruck, zur Beschreibung der Multiplikation von gleichen Zahlen (d.h. eine Zahl wird mit sich selber multipliziert).
  • Potenzgesetze: Regeln, die beschreiben, wie man mit Potenzen rechnet. 


Potenzen in der Mathematik

Potenzen und Potenzgesetze

Begriffe der Potenzrechnung

  • Basis
    • Basis ist die Zahl unter der Hochzahl
    • Basis ist die Zahl, die multipliziert wird
    • Beispiel 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81
    • 3 ist die Basis
  • Exponent
    • Exponent ist die Hochzahl
    • gibt an, wie oft die Basis mit sich selber multipliziert werden soll
    • Beispiel: 52 = 5 * 5 = 25
    • 2 ist der Exponent (die 5 wird 2-mal multipliziert)
  • Potenz
    • Potenz ist der Ausdruck, bestehend aus Exponent und Basis
    • Beispiel: 23 ist eine Potenz

Besondere Potenzen

  • Zehnerpotenz = Potenzen mit der Basis 10
    • Beispiel: 102 = 100
    • eine 1 mit 2 Nullen
    • es gilt hier: die Hochzahl gibt an, wie viele Nullen hinter der 1 kommen!
  • Potenzen mit negativer Basis
    • Beispiel: (-5)3 = (-5) * (-5) * (-5) = -125
    • es gilt: ist der Exponent ungerade, so ist das Ergebnis negativ, ist der Exponent gerade, so ist das Ergebnis positiv.
  • Potenzen mit negativem Exponenten
    • Beispiel: 2-3 = 1/23
    • Es wird der Kehrbruch gebildet und mit dem positiven Exponenten gerechnet!
    • d.h. die 1 ist der Zähler und die Potenz wandert mit dem positiven Exponenten in den Nenner.
  • Potenzen mit dem Exponenten 0
    • Beispiel: 50 = 1
    • Merke: Sobald der Exponent 0 ist, ist die Lösung der Potenz 1 
    • allgemein: a0 = 1
  • Brüche als Basis
    • Beispiel: (1/2)3 = 13 / 23 = 1/8
    • Merke: Der Exponent wird in den Zähler UND in den Nenner gezogen. 

 

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Potenzgesetze: Rechnen mit Potenzen

Potenzgesetz zur Addition und Subtraktion

  • Potenzen können nur addiert/subtrahiert werden, wenn die Basis UND der Exponent gleich sind:
    • Beispiel: 32 + 32 = 2 * (32) = 2 * (3*3) = 18
    • Merke: Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten und Basis kann man nicht addieren/subtrahieren!

Potenzgesetz zur Multiplikation 

  • Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden.
    • Beispiel: 42 * 43 = 4(2+3) = 45
  • Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem die Basis multipliziert wird.
    • Beispiel: 23 * 63 = (2 * 6)3 = 123

Merke: bei der Multiplikation von Potenzen immer auf die Exponenten und die Basis achten, wenn beide unterschiedlich sind, kann man keine Multiplikation durchführen!

Potenzgesetz zur Division 

  • Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem die beiden Exponenten subtrahiert werden.
    • Beispiel: 62 / 65 = 6(2-5) = 6-3 = 1/63
  • Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem die Basis von den beiden Potenzen dividiert wird.
    • Beispiel: 62 / 32 = (6/3)2 = 22 = 4 

Merke: bei der Division von Potenzen immer auf die Exponenten und die Basis achten, wenn beide unterschiedlich sind, kann man keine Division durchführen!

Potenzen potenzieren

  • Potenzen werden potenziert, indem die Hochzahlen multipliziert werden.
  • Beispiel: (42)5 = 4(2*5) = 410

Wurzeln aus Potenzen ziehen

  • Die Wurzel aus den Potenzen werden gezogen, indem die Basis unverändert bleibt und als Exponent ein Bruch entsteht.
  • Für den erzeugten Bruch im Exponenten gilt: Der Wurzelexponent ist der Zähler und der Potenzexponent kommt in den Nenner.
  • Beispiel: 4. Wurzel aus 35 = 3(4/5) 

Zahlenwerte

(relevant für Zehnerpotenzen)

  • 101 = 10
  • 102 = 100 = Hundert
  • 103 = 1.000 = Tausend
  • 104 = 10.000 = Zehn-Tausend
  • 105 = 100.000 = Hundert-Tausend
  • 106 = 1.000.000 = Million
  • 107 = 10.000.000
  • 108 = 100.000.000
  • 109 = 1.000.000.000 = Milliarde
  • …
  • 1012 = 1.000.000.000.000 = Billion
  • …
  • 1015 = 1.000.000.000.000.000 = Billiarde
  • …
  • 1018 = 1.000.000.000.000.000.000 = Trillion
  • …
  • 1021 = 1.000.000.000.000.000.000.000 = Trilliarde

Potenzen und Potenzgesetze – Aufgaben und Übungen 

Aufgaben für die 6. Klasse

 

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