Potenzen

Potenzen in der Mathematik

Potenzen in der Mathematik

Potenzen: Eine Potenz ist ein Ausdruck, zur Beschreibung der Multiplikation von gleichen Zahlen (d.h. eine Zahl wird mit sich selber multipliziert).

Begriffe

  • Basis
    • Basis ist die Zahl unter der Hochzahl
    • Beispiel 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81
    • 3 ist die Basis
  • Exponent
    • Exponent ist die Hochzahl
    • gibt an wie oft die Basis mit sich selber multipliziert werden soll
    • Beispiel: 53 = 5 * 5 * 5 = 125
    • 3 ist der Exponent (die 5 wird 3-mal multipliziert)
  • Faktor
    • Faktor ist die Zahl, die mal genommen wird
    • Beispiel: 42 = 4 * 4 = 16
    • 4 ist der Faktor
    • d.h. bei Potenzen ist die Basis automatisch der Faktor
  • Potenz
    • Potenz ist der Ausdruck, bestehend aus Exponent und Basis
    • Beispiel: 23 ist eine Potenz.
  • potenzieren
    • statt eine Zahl, ist hier eine Potenz die Basis
    • Beispiel: (32)2 = (32) * (32)

Besondere Potenzen

  • Zehnerpotenz = Potenzen mit der Basis 10
    • Beispiel: 102 = 100
    • eine 1 mit 2 Nullen
    • es gilt hier: die Hochzahl gibt an wie viele Nullen hinter der 1 kommen!
  • Potenzen mit negativer Basis
    • Beispiel: (-5)3 = (-5) * (-5) * (-5) = -125
    • es gilt: ist der Exponent ungerade so ist das Ergebnis negativ, ist der Exponent gerade so ist das Ergebnis positiv.
  • Potenzen mit negativem Exponenten
    • Beispiel: 2-3 = 1/23
    • Es wird der Kehrbruch gebildet und mit dem positiven Exponenten gerechnet!
    • d.h. die 1 ist der Zähler und die Potenz wandert mit dem positiven Exponenten in den Nenner.
  • Potenzen mit dem Exponenten 0
    • Beispiel: 50 = 1
    • Merke: Sobald der Exponent 0 ist, ist die Lösung der Potenz 0, 
    • allgemein: a0 = 0
  • Brüche als Basis
    • Beispiel: (1/2)3 = 13 / 23 = 1/8
    • Merke: Der Exponent wird in den Zähler UND in den Nenner gezogen. 

Rechnen mit Potenzen

Addition und Subtraktion

  • Potenzen können nur addiert/subtrahiert werden, wenn die Basis UND der Exponent gleich sind:
    • Beispiel: 32 + 32 = 2 * (32) = 2 * (3*3) = 18
    • Merke: Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten und Basis kann man nicht addieren/subtrahieren!

Multiplikation von Potenzen

  • Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden.
    • Beispiel: 42 * 43 = 4(2+3) = 45
  • Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem die Basis multipliziert wird. 
    • Beispiel: 23 * 63 = (2 * 6)3 = 123

Merke: bei der Multiplikation von Potenzen immer auf die Exponenten und die Basis achten, wenn beide unterschiedlich sind kann man keine Multiplikation durchführen!

Division von Potenzen

  • Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem die beiden Exponenten subtrahiert werden.
    • Beispiel: 62 / 65 = 6(2-5) = 6-3 = 1/63
  • Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem die Basis von den beiden Potenzen dividiert wird.
    • Beispiel: 62 / 32 = (6/3)2 = 22 = 4 

Merke: bei der Division von Potenzen immer auf die Exponenten und die Basis achten, wenn beide unterschiedlich sind kann man keine Division durchführen!

Potenzen potenzieren

  • Potenzen werden potenziert, indem die Hochzahlen multipliziert werden.
  • Beispiel: (42)5 = 4(2*5) = 410

Wurzeln aus Potenzen ziehen

  • Die Wurzel aus den Potenzen werden gezogen, indem die Basis unverändert bleibt und als Exponent ein Bruch entsteht.
  • Für den erzeugten Bruch im Exponenten gilt: Der Wurzelexponent ist der Zähler und der Potenzexponent kommt in den Nenner.
  • Beispiel: 4. Wurzel aus 35 = 3(4/5) 

Zahlenwerte

(relevant für Zehnerpotenzen)

  • 101 = 10
  • 102 = 100 = Hundert
  • 103 = 1.000 = Tausend
  • 104 = 10.000 = Zehn-Tausend
  • 105 = 100.000 = Hundert-Tausend
  • 106 = 1.000.000 = Million
  • 107 = 10.000.000
  • 108 = 100.000.000
  • 109 = 1.000.000.000 = Milliarde
  • 1012 = 1.000.000.000.000 = Billion
  • 1015 = 1.000.000.000.000.000 = Billiarde
  • 1018 = 1.000.000.000.000.000.000 = Trillion
  • 1021 = 1.000.000.000.000.000.000.000 = Trilliarde

Aufgaben zu Potenzen

Potenzen für die 6. Klasse


Mathematikunterricht

Viele weitere hilfreiche Infos für den Matheunterricht.


Was ist onlineuebung.de? 

onlineuebung.de ist eine kostenlose Lernplattform, für Schülerinnen und Schüler mit Informationen, Links und Onlineübungen.

onlineuebung.de kann man kostenlos abonnieren / folgen und so über Aktualisierungen, neue Inhalte, Aktionen, etc. auf dem Laufenden bleiben.