Prozentrechnung

Prozentrechnung: Bedeutung und Schreibweise

• Verwendung: Prozentrechnung kommt im wirklichen Leben ständig vor: Zinsen auf dem Sparkonto, Rabatte im Geschäft, ….
• Definition: bei der Prozentrechnung geht es um ein Verhältnisrechnen.
• Übersetzung: Prozent kommt von ‚pro cent‘ = je hundert
• Prinzip: Bei der Prozentrechnung wird immer im Verhältnis zu 100 gerechnet.
• Man schreibt: %
• Beispiel: 20% bedeutet: 20 von 100
  • heißt: wenn die Gesamtmenge 100 sind, sind 20% => 20
  • heißt: wenn die Gesamtmenge 200 sind, sind 20% => 40
  • heißt: wenn die Gesamtmenge 50 sind, sind 20% => 10
  • usw. …
• Bestandteile:
  • Grundwert = das Ganze = 100
  • Anteil: Teil vom Ganzen
    • => Prozent: Anteil im Verhältnis zum Ganzen
• Ziel:
  • Mit der Prozentangabe erhält man ein Verhältnis.
  • Dieses Verhältnis kann man vergleichen, auch wenn der Grundwert/ das Ganze unterschiedlich sind.
• Beispiel: 
  • Tom kauft Äpfel für 1 Euro pro Stück beim Bauern und verkauft sie für 1,50 Euro;
    • d.h. er verdient 0,50 Euro auf jeden 1 Euro
    • d.h. er hat 50 Cent / 100 Cent = 50/100 = 0,5
    • 50% Gewinn
  • Peter kauft Himbeeren für 20 Euro pro Kilo beim Bauern und verkauft sie für 50 Euro pro Kilo;
    • d.h. er verdient 50-20 = 30 Euro auf 20 Euro
    • d.h. er hat 30 Euro / 20 Euro
    • auf 100 gerechnet: 150 Euro / 100 Euro = 150/100 = 15
    • 150% Gewinn
• Begriffe
  • Grundwert = das Ganze (wird auf 100 gesetzt)
  • Prozentwert = (An-)Teil des Ganzen
  • Prozentsatz = Anteil in Prozent (%)
  • Verminderter Grundwert: wenn bei z.B. Rabatten der Grundwert / ‚das Ganze‘ reduziert wird. Dann ist der neue Preis der ‚verminderte Grundwert‘.
    • Preis vorher 100 Euro (Grundwert = 100)
    • Rabatt: 10% (Prozentsatz: 10%)
    • Verminderter Grundwert = 100 – 10 % = 90 (Euro)
  • Vermehrter Grundwert: wenn z.B. bei ‚Preiserhöhungen‘, der Grundwert / ‚das Ganze‘ erhöht wird. Dann ist der neue Preis der ‚vermehrte Grundwert.
    • Preis vorher 100 Euro (Grundwert = 100)
    • Preiserhöhung: 10% (Prozentsatz: 10 %)
    • Vermehrter Grundwert: 100 + 10 % = 110 (Euro)

• Übungen und Aufgaben dazu 

Prozentrechnung – die Themen

Brüche in Prozent schreiben

• Beispiele
  • 1/4 = 25%
  • 2/5 = 40%
  • 45/1000 = 4,5%
  • 18/20 = 90%
  • 4 3/5 = 460% (gemischter Bruch)
  • 53/40 = 132,5%

• Vorgehen: wie man Brüche in Prozent schreibt.
  • Erweitere oder kürze den Bruch so, dass im Nenner 100 steht, denn z.B. 25 /100 sind 25 Prozent. 
  • Beispiele: 
    • 3/5 => Zähler und Nenner mal 20 => 60/100 = 60% (mit 20 erweitert)
    • 15/300 => mit 3 kürzt => 5/100 = 5% (mit 3 gekürzt)

• Diverse Übungen und Aufgaben dazu

Brüche in Dezimalzahlen schreiben

Vorgehen: wie man Brüche in Dezimalzahlen schreibt.

• Fall 1: im Bruch steht ein Vielfaches von 10:
  • Der Zähler wird übernommen und die Dezimalzahl enthält so viele Nachkommastellen, wie es Nullen im Bruch gibt. 
  • Beispiele:
    • 3/10 = 0,3 
    • 5/100 = 0,05
    • 25/1000 = 0,025
• Fall 2: Der Nenner hat keine Zehnerpotenz:
  • Man kürzt den Bruch so weit wie möglich und teilt den Zähler durch den Nenner.
  • Gehe hier genauso vor wie bei einer schriftlichen Division.
  • Beispiele:
    • 1/2 = 0,5
    • 3/4 = 0,75
    • 5/8 = 0,625
  • Dabei können auch periodische Dezimalzahlen entstehen, wenn sich die Nachkommastellen wiederholen: 
    • Beispiele:
      • 2/3 = 0,666666…
      • 8/99 = 0,080808…

• Diverse weitere Übungen dazu

Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Vorgehen: wie man Dezimalzahlen in Brüche schreibt

• Zähle die Nachkommastellen von der Dezimalzahl.
• Diese Anzahl gibt an, wie viele Nullen im Nenner (wo das Vielfache von 10 steht) sein müssen.
• Im Zähler steht die Zahl der Dezimalzahl (aber ohne Komma und Nullen).
• Kürze den Bruch zum Schluss so weit wie möglich
• Beispiele:
  • 0,05 = 5/100 => kürzen mit 5 => 1/200
  • 0,25 = 25/1000 => kürzen mit 25 => 1/40

• Diverse weitere Übungen und Aufgaben dazu

Prozentzahl in Brüche umwandeln

Vorgehen: wie man Prozentzahlen in Brüche umwandelt.

• Schreibe die Prozentzahl in den Zähler und
• die 100 in den Nenner (dies ist der Grundwert)
• Kürze nun den Bruch so weit wie möglich. 
• Beispiele:
  • 20% = 20/100 => kürzen mit 5 => 1/5
  • 120% = 120/100 => kürzen mit 20 => 6/5
  • 2,5% = 2,5/100 => erweitern mit 10 => 25/1000 => dann kürzen mit 25 => 1/40

• Übungen dazu