Reelle Zahlen

• Rationale Zahlen =
  • Zahlen, die man als Bruchzahlen schreiben kann
  • Zahlen, die man auf einem Zahlenstrahl eintragen kann.
    • Abbrechende Dezimalzahlen*: 1/4 = 0,25
    • Periodische Dezimalzahlen**: 1/3 = 0,333333…
  • Symbol: Q mit 2 Strichen
  • Quiz: Rationale Zahlen

• Irrationale Zahlen = können nicht als Bruchzahl dargestellt werden
  • Nicht-periodische Dezimalzahlen:
    • unendlich viele Stellen hinter dem Komma
    • nicht periodische Zahlen hinter dem Komma
  • Symbol: I mit 2 Strichen
  • Beispiel:
    • pi = 3,1415926…
    • Eulersche Zahl = 2,718281828…
    • Wurzel aus 2 = 1,41421356…
  • Quiz: Irrationale Zahlen

Wurzeln

• Begriffe
  • Wurzel: √
  • Radikand = Zahl unter der Wurzel
  • Betrag: Lösung einer Wurzel
• Definition: Wurzeln sind die ‚Rückrechnung‘ einer quadratischen Gleichung.
  • Beispiel:
    • √9 = 3
    • genauer: +3 / -3
    • denn +3² = 9 und -3² = 9
    • also ist die Wurzel aus 9 = +3 und -3
• d.h. Wurzeln können die Hochzahlen eliminieren / aufheben.
• die Lösung einer Wurzel kann positiv oder negativ sein
  • Beispiel:
    • bei der Wurzel aus 3² (andere Darstellung: √3² ) kann die Wurzel und das hoch 2 weggestrichen werden.
    • √(3² ) = 3

• Achtung: Die Zahl unter den Wurzeln (Radikand) kann nie negativ sein (da eine Zahl, mit sich selbst multipliziert, immer positiv ist)
  • Beispiel:
    • Wurzel aus -169 nicht möglich, aber
    • Wurzel aus 169 = 13 oder -13 (rationale Zahl)
      • -13² = -13 x -13  =169
      • 13² = 13 x 13  =169
• Merke also: die Lösung einer Wurzel hat immer ! 2 Lösungen. Man sagt auch: der Betrag einer Zahl.
• Quiz: Wurzeln

Wurzelterme

Wurzelterme sind Terme, die Wurzeln enthalten. Sie können durch

• Ausmultiplizieren
• Binomische Formeln
• Ausklammern gelöst werden.

Wurzelterme werden also wie normale Terme behandelt und können mit den bisherigen Methoden für Terme gelöst werden.

Wurzelgesetze

Wurzelgesetze ermöglichen das Rechnen mit Wurzeln

• Addition / Subtraktion: Wurzel können nur addiert / subtrahiert werden, wenn der Radikand gleich ist!
  • Beispiel: 5 * √2 – 2 * √2 = 3 * √2
• Multiplikation: Wurzeln werden multipliziert, indem die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden (Zahl unter den Wurzeln) berechnet wird. Also Wurzel aus 1. Radikand * 2. Radikand.
  • Beispiel: √4 * √3 = √12 
• Division: Wurzeln werden dividiert, indem die Wurzel aus dem Bruch der beiden Radikanden berechnet wird. Der erste Radikand steht im Zähler und der zweite Radikand im Nenner.
  • Beispiel: √6 / √3 = √6/3 = √2

• Weitere Informationen dazu

Quizze dazu

• Quiz: Rationale Zahlen
• Quiz: Irrationale Zahlen
• Quiz: Wurzeln

• *Dezimalzahlen = erhält man, wenn man beim Bruch den Zähler durch den Nenner teilt.
• ** Periodisch: ständig wiederholende Zahlenfolge.