Lineare Funktionen und lineare Gleichungen

Lineare Funktionen und lineare Gleichungen – Definitionen

Funktionen (f) =
- Gleichung mit mindestens 2 Werten
- Zuordnung von jedem x-Wert zu einem y-Wert (x => y)
Linear heißt ‚aus einer Linie bestehend‘; d.h. Lineare Funktionen sind Geraden
Lineare Funktionen: die allgemeine Form einer linearen Funktion ist y = mx + n
Steigung (m) des Graphen, gibt an, um wieviele Einheiten der y-Wert steigt oder fällt, wenn der x-Wert um 1 zunimmt.
y-Achsenabschnitt = n
Nullstelle: Schnittpunkt mit der x-Achse, wenn y = 0 ist.
proportionale Funktionen: die allgemeine Form einer proportionale Funktion ist y=m*x und verläuft durch den Ursprung (Punkt P(0/0)).
konstante Funktionen: die allgemeine Form einer konstanten Funktion ist y=n und verläuft parallel zur x-Achse.

Details zu Linearen Funktionen
- Punkt auf einer Geraden
- Berechnung einer Steigung
- Funktionsgleichung bestimmen

P1 (x1 / y1):
- x wird nach rechts oder links auf der x-Achse eingetragen (horizontale)
- y wird nach oben oder unten auf der y-Achse eingetragen (vertikale)

Steigung (m) gibt an, um wie viele Einheiten der y-Wert steigt oder fällt, wenn der x-Wert um 1 zunimmt.
Beispiel:
- f(x) = 7 x + 3
- Steigung (m) = 7
- (Y-Achsenabschnitt = 3)
- Der Y-Wert steigt also um 7 Einheiten, wenn der x-Wert um 1 zunimmt.

Um einen Graphen zu bestimmen / Lineare Funktion(-sgleichung) aufzustellen:

Koordinaten ablesen (P1 (x1 / y1) und P2 (x2 / y2))
Steigung (m) berechnen
Einen von beiden Punkten auswählen und in die Gleichung: y = m • x + n einsetzen
Gleichung nach n (y-Achsenabschnitt) auflösen

Aufgabenalternativen:

Definition: rechnerische Prüfung, ob ein gegebener Punkt auf dem Graphen liegt
Vorgehen:
- Funktion aufstellen
- m und n ausrechnen (indem man x und y eines gegebenen Punktes einsetzt)
- Koordinaten des zu prüfenden Punktes (x1 und y1) in die gegebene Gleichung einsetzen
- Ergebnis prüfen
Beispiel:
- Gegeben ist der Punkt P(5I7) und die Funktion f: y=2x+0
- Man setzt den Punkt in die Gleichung ein: 7 = 2*5 + 0
- -> Der Punkt liegt nicht auf der Geraden, da die Gleichung nicht aufgeht 7 = 10 (falsch).
Onlineübung: Punktprobe

Definition:
- Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse
- x-Wert, bei dem der Schnittpunkt eben mit der x-Achse liegt.
- Nullstelle: y = 0
Berechnung:
- Die Funktion mit Null gleichsetzten und nach x auflösen:
- y = 0 in die Formel einsetzen und nach x auflösen
- y = mx + n = 0
Onlineübung: Nullstellen bestimmen
Weitere Onlineübung

Definition:
- Der Punkt, an dem sich 2 Geraden schneiden
- Funktionswert ist bei beiden Geraden gleich: y1 = y 2
Onlineübung:
- Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge
Vorgehen:
- Funktionen gleichsetzen
  - gegeben: f(x) = 3x +1 und g(x) = x – 1
  - gleichsetzen: 3x +1 = x – 1
- Gleichung nach x auflösen
  - 3x + 1 = x – 1 /-x
  - 2x + 1 = -1 /-1
  - 2x = -2
  - x = – 1
- x-Wert in eine der Geraden einsetzen und y berechnen
  - y = g(x) = x – 1 (x = -1)
  - y = g(x) = -1 – 1
  - y = g(x) = -2
  - S (-1 / -2)
Onlineübung: Schnittpunkt bestimmen
Weitere Onlineübung

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