Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren verstehen und lernen
Lineare Gleichungen
- Definition / Übersetzung
- Linear = (gerade) Linie
- Gleichung = zwei Terme haben die gleiche Aussage
- Lineare Gleichung definieren Geraden
- Lineare Gleichungen (mit 2 Variablen) können
- eine Lösung = Schnittpunkt haben
- dann ist es eine eindeutige Lösung
- die Graphen der beiden linearen Gleichungen schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt (z.B.: x = 10, y = -2)
- unendlich viele Lösungen haben
- die Graphen der beiden linearen Gleichungen sind identisch
- keine Lösung haben (die Lösungsmenge ist leer)
- die Graphen der beiden linearen Gleichungen sind parallel zueinander, sie haben keinen gemeinsamen Punkt
- eine Lösung = Schnittpunkt haben
Lineares Gleichungssystem
- Definition
- ein lineares Gleichungssystem ist die Verknüpfung von zwei lineare Gleichungen (siehe oben)
- es gibt dazu 3 Verfahren: das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren
Einsetzungsverfahren
Das Prinzip: bei zwei verschiedenen Gleichungen wird die eine Gleichung in die andere Gleichung eingesetzt
Gegeben sind zum Beispiel 2 Gleichungen:
- Gleichung: 6y + 6 = 2x + 28
- Gleichung: 6y – 4x = 14
Vorgehen
1. Auflösen: eine der beiden Gleichungen wird nach einer Variablen aufgelöst (hier nach: 6y)
6y – 4x = 14 | + 4x
6y = 14 + 4x
2. Einsetzen:
die eine Gleichung wird in die andere Gleichung eingesetzt
(sodass nur noch eine Variable in den Gleichungen übrig bleibt)
6y + 6 = 2x + 28 (setzte den vorher ausgerechneten Term nun in die Gleichung)
14 + 4x + 6 = 2x + 28
3. Ausrechnen: nach der verbleibenden Variablen auflösen
14 + 4x + 6 = 2x + 28 | – 2x
14 + 6 + 2x = 28 | -20
2x = 8
x = 4
Einsetzen: die ausgerechnete Variable einsetzen, um die andere Variable zu erhalten.
Probe: beide Variablen einsetzen und ausrechnen.
Gleichsetzungsverfahren
Das Prinzip: die Gleichungen werden gleich gesetzt.
Gegeben sind zum Beispiel:
- Gleichung: y – 4x = -11
- Gleichung: y + 2x = 13
Vorgehen:
1. Umformen: beide Gleichungen werden nach einer Variablen umgeformt
y – 4x = -11 | + 4x
y = -11 + 4x
und
y + 2x = 13 | – 2x
y = 13 – 2x
2. Gleichsetzen: die beiden Gleichungen werden gleichgesetzt
-11 + 4x = 13 – 2x
3. Auflösen: nach einer Variablen auflöst
-11 + 4x = 13 – 2x | +2 x
-11 + 6x = 13 |+11
6x = 24 | /6
x = 4
4. Einsetzen: das Ergebnis einsetzen: für x wird 4 eingesetzt
y – 4x = -11 | + 4x
y – 4*4 = -11
y – 16 = -11 | + 16
y = 5
Additionsverfahren
Das Prinzip: die (gesamten) Gleichungen werden so addiert, dass nur eine Variable in der Gleichung übrig bleibt.
Gegeben sind z. B.:
- Gleichung: 3x + 7y = 47
- Gleichung: -x + 3y = 11
1. Umformen: eine Gleichung wird mit einer Zahl multipliziert, sodass bei der (späteren) Addition eine Variable wegfällt.
-x + 3y = 11 | *3
-3x + 9y = 33
2. Addieren: die Gleichungen werden addiert
3x + 7y = 47
-3x + 9y = 33
ergibt: 0x + 16y = 80 | /16
y = 5
3. Einsetzen: die erhaltene Variable wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt
3x + 7 y = 47 (Setze y = 5 in die Gleichung)
<=> 3x + 7*5 = 47
<=> 3x + 35 = 47 | -35
<=> 3x = 12 | /3
<=> x = 4