Gleichsetzungsverfahren üben

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Lösungen und Rechenwege

Einfache Übungen

Aufgabe: (1) 5x – 15y = 25 und (2) x – 4y = 20

umformen nach x:

(1): 5x-15y = 25 | + 15y

<=> 5x = 25 + 15y |/5

<=> x = 5 + 3y

(2): x – 4y = 20 | + 4y

<=> x = 20 + 4y

gleichsetzen: 5 + 3y = 20 + 4y

auflösen nach y: <=> 5 + 3y = 20 + 4y |-3y

<=> 5  =  20 + y |-20

<=> -15  =  y

einsetzen in (1): 5x-15*-15 = 25 |-5

<=> 5x + 225 = 25 |-225

<=> 5x = -200 |/5

<=> x = -40

Aufgabe: (1) 10x  +  12 = 2y und (2) 9x – 3y = 30

umformen nach y:

(1): 10x + 12 = 2y |/2

<=> 5x + 6 = y

(2): 9x-3y = 30 |-9x

<=> -3y = 30-9x |/(-3)

<=> y = -10 + 3x

gleichsetzen: 5x + 6 = -10 + 3x

auflösen nach x: <=> 5x + 6 = -10 + 3x |-3x

<=> 2x + 6 = -10 |-6

<=> 2x = -16 |/2

<=> x = -8

einsetzen in (1): 10*-8 + 12 = 2y

<=> -68 = 2y |/2

<=> -34 = y

Aufgabe: (1) 3x = 6y  +  12 und (2) x – 3y = 9

umformen nach x:

(1): 3x = 6y + 12 |/3

<=> x = 2y + 4

(2): x-3y = 9 | + 3y

<=> x = 9 + 3y

gleichsetzen: 2y + 4 = 9 + 3y 

auflösen nach y: 2y + 4 = 9 + 3y |-2y

<=> 4 = 9 + y |-9

<=> -5 = y

einsetzen in (1): 3x = 6*(-5) + 12

<=> 3x = -18 |/3

<=> x = -6

Aufgabe: (1) 8x = 56y +  4 und (2) 5x – 10y = 15

umformen nach x:

(1): 8x = 56y + 4 |/8

<=> x = 7y + 0,5

(2): 5x-10y = 15 | + 10y

<=> 5x = 15 + 10y |/5

<=> x = 3 + 2y

gleichsetzen: 7y + 0,5 = 3 + 2y

auflösen nach y: 7y + 0,5 = 3 + 2y |-0,5

<=> 7y = 2,5 + 2y |-2y

<=> 5y = 2,5 |5

<=> y = 0,5

einsetzen in (1): 8x = 56*0,5 + 4

<=> 8x = 32 |/8

<=> x = 4

Aufgabe: (1) 0,5x  +  2y = 10 und (2) x = 12y  +  4

umformen nach x:

(1): 0,5x + 2y = 10 |-2y

<=> 0,5x = 10-2y |/0,5

<=> x = 20-4y

(2): x = 12y + 4

gleichsetzen: 20-4y = 12y + 4 

auflösen nach y: 20-4y = 12y + 4 | + 4y

<=> 20 = 16y + 4 |-4

<=> 16 = 16y |/16

<=> 1 = y

einsetzen in (1): 0,5x + 2*1 = 10

<=> 0,5x + 2 = 10 |-2

<=> 0,5x = 8 |/0,5

<=> x = 16

Mittelschwierige Übungen

Aufgabe: (1) 8x  =  2y  +  10 und (2) x – 4y  =  20

umformen nach x:

(1): 8x = 2y + 10 |/8

<=> x = 0,25y + 1,25

(2): x-4y = 20 | + 4y

x = 20 + 4y

gleichsetzen: 0,25y + 1,25 = 20 + 4y

auflösen nach y: 0,25y + 1,25 = 20 + 4y |-20 und |-0,25y

<=> -18,75 = 3,75y |/3,75

<=> -5 = y

einsetzen in (1): 8x = 2*(-5) + 10

<=> 8x = 0 |/8

<=> x = 0

Aufgabe: (1) 3x  +  9  =  12y und (2) 3x  =  18  +  3y

umformen nach x:

(1): 3x + 9 = 12y |-9

<=> 3x = 12y-9 |/3

<=> x = 4y-3

(2): 3x = 18 + 3y |/3

<=> x = 6 + y

gleichsetzen: 4y-3 = 6 + y

auflösen nach y: 4y-3 = 6 + y |-y

<=> 3y-3 = 6 | + 3

<=> 3y = 9 |/3

<=> y = 3

einsetzen in (1): 3x + 9 = 12*3

<=> 3x + 9 = 36 |-9

<=> 3x = 27 |/3

<=> x = 9

Aufgabe: (1) 3x  =  6y  +  9 und (2) x – 4y  =  8

umformen nach x:

(1): 3x = 6y + 9 |/3

<=> x = 2y + 3

(2): x-4y = 8 | + 4y

<=> x = 8 + 4y

gleichsetzen:  2y + 3 = 8 + 4y

auflösen nach y: 2y + 3 = 8 + 4y |-2y

<=> 3 = 8 + 2y |-8

<=> -5 = 2y |/2

<=> -2,5 = y

einsetzen in (1): 3x = 6*-2,5 + 9

<=> 3x = -6 |/3

<=> x = -2

Aufgabe: (1) 5x  =  2y +  4 und (2) x – 2y  =  10

umformen nach x:

(1): 5x = 2y + 4 |/5

<=> x = 0,4y + 0,8

(2): x-2y = 10 | + 2y

<=> x = 10 + 2y

gleichsetzen: 0,4y + 0,8 = 10 + 2y

auflösen nach y: 0,4y + 0,8 = 10 + 2y |-2y

<=> -1,6y + 0,8 = 10 |-0,8

<=> -1,6y = 9,2 |/(-1,6)

<=> y = -5,75

einsetzen in (2): x-2*(-5,75) = 10 |-11,5

<=> x = -1,5

Aufgabe: (1) 4x  +  2y  =  -4 und (2) 2x  +  2y  =  5

umformen nach x:

(1): 4x + 2y = -4 |-2y

<=> 4x = -4-2y |/4

<=> x = -1-0,5y

(2): 2x + 2y = 5 |-2y

<=> 2x = 5-2y |/2

<=> x = 2,5-y

gleichsetzen: -1-0,5y = 2,5-y

auflösen nach y: -1-0,5y = 2,5-y | + y

<=> -1 + 0,5y = 2,5 | + 1

<=> 0,5y = 3,5 |/0,5

<=> y = 7

einsetzen in (2): 2x + 2*7 = 5 

<=> 2x + 14 = 5 |-14

<=> 2x = -9 |/2

<=> x = -4,5

Schwierige Übungen

Aufgabe: (1) 9x  + 12  =  3y und (2) 4x – 2y  =  -24

umformen nach y:

(1): 9x + 12 = 3y |/3

<=> y = 3x + 4

(2): 4x-2y = -24 |-4x

<=> -2y = -24-4x |/(-2)

<=> y = 12 + 2x

gleichsetzen: 3x + 4 = 12 + 2x

auflösen nach x: 3x + 4 = 12 + 2x |-2x

<=> x + 4 = 12 |-4

<=> x = 8

einsetzen in (1): 9*8 + 12 = 3y

<=> 84 = 3y |/3

<=> y = 28

Aufgabe: (1) 5x  =  20y  +  5 und (2) 5x – 7y  =  35

umformen nach x:

(1): 5x = 20y + 5 |/5

<=> x = 4y + 1

(2): 5x-7y = 35 | + 7y

<=> 5x = 35 + 7y |/5

<=> x = 7 + (7/5)y

gleichsetzen: 4y + 1 = 7 + (7/5)y

auflösen nach y: 4y + 1 = 7 + (7/5)y |-(7/5)y

<=> (13/5)y + 1 = 7 |-1

<=> (13/5)y = 6 |/(13/5)

<=> y = 30/13

einsetzen in (1): 5x = 20*(30/13) + 5

5x = 600/13  + 5

<=> 5x = 665/13 |/5

<=> x = 133/13

Aufgabe: (1) 2x  =  2y  +  20 und (2) 2x – 4y  =  35

umformen nach x:

(1): 2x = 2y + 20 |/2

<=> x = y + 10

(2): 2x-4y = 35 | + 4y

<=> 2x = 35 + 4y |/2

<=> x = 17,5 + 2y

gleichsetzen:  y + 10 = 17,5 + 2y

auflösen nach y: y + 10 = 17,5 + 2y |-y

<=> 10 = 17,5 + y |-17,5

<=> -7,5 = y

einsetzen in (1): 2x = 2*-7,5 + 20

<=> 2x = 5 |/2

<=> x = 2,5

Aufgabe: (1) -4x  +  20  =  5y und (2) -5x -y  =  -25

umformen nach y:

(1): -4x + 20 = 5y |/5

<=> y = (-4/5)x + 4

(2): -5x-y = -25 | + 5x

<=> -y = -25 + 5x |/(-1)

<=> y = 25-5x

gleichsetzen: (-4/5)x + 4 = 25-5x

auflösen nach x: (-4/5)x + 4 = 25-5x | + 5x

<=> (21/5)x + 4 = 25 |-4

<=> (21/5)x = 21 |/(21/5)

<=> x = 5

einsetzen in (1): -4*5 + 20 = 5y

<=> 0 = 5y |/5

<=> 0 = y

Aufgabe: (1) 3x  +  14 =  y und (2) 2x – 6y  =  12

umformen nach y:

(1): y = 3x + 14

(2): 2x-6y = 12 |-2x

<=> -6y = 12-2x |/(-6)

<=> y = -2 + (1/3)x

gleichsetzen: 3x + 14 = -2 + (1/3)x

auflösen nach x: 3x + 14 = -2 + (1/3)x |-3x

<=> 14 = -2-(8/3)x | + 2

<=> 16 = -(8/3)x |/-(8/3)

<=> -6 = x

einsetzen in (1): 3*-6 + 14 = y

<=> -4 = y