Binomische Formeln

Lineare Algebra / Binomische Formeln

Was sind Binomische Formeln?

Formeln, die die Berechnung von Termen in Klammern vereinfachen:

  • 1. Binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
  • 2. Binomische Formel: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
  • 3. Binomische Formel: (a + b) * (a – b) = a2 – b2

 

Wozu braucht man Binomische Formeln?

  • Flächenberechnung: Berechnung der Fläche eines Quadrates, bei
    • Verlängerung der Seite a um b (Seitenlängen a werden um b verlängert: a+b)
    • Verkürzung der Seite a um b (Seitenlängen a werden um b verkürzt: a-b)
    • Verlängerung einer und Verkürzung der anderen Seite (die eine Seitenlänge a wird um b verlängert; die andere um b verkürzt)
  • Kopfrechnen: einfache Berechnung von Quadratzahlen, durch
    • 1. Faktorierung (Zerlegung) der Zahl in einen Term (z.B. 17 in 10 und 7)
    • 2. Anwendung und Berechnung mit der Binomischen Formel
    • Beispiel:
      • 17=
      • (10 + 7)=
      • 102 + 2*10*7 + 7=
      • 100 + 140 + 49 =
      • 289
  • Kürzen: bei der Bruchrechnung können mittels binomischer Formeln Terme im Zähler und Nenner erzeugt werden, die dann gekürzt werden können.
  • Wurzeln radizieren: Wurzeln quadrieren und mittels binomischer Formel vereinfachen

 

Übersicht Binomische Formeln

Übersicht Binomische Formeln

Details und Hintergründe

  • Grundlage: Multipliziert man Binome (zweigliederige Terme), kann man das Ergebnis zusammenfassen.
  • Erforderliche Methoden: Ausmultiplizieren von Klammern (Distributionsgesetz)
    • jedes Glied in der einen Klammer wird mit jedem Glied in der anderen Summe multipliziert

1. Binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

  • Herleitung:
    • (a + b)2 =
    • (a + b)*(a + b) =
    • a*a + a*b + b*a + b*b =
    • a2 + 2ab + b2
  • Herleitung – alternative Darstellung
  • Foliensatz
  • Anwendung
    • Flächenberechnung: Berechnung der Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge: a + b
    • Kopfrechnen mit der 1. Binomischen Formel
      • 172 =
      • (10 + 7) =
      • 102 + 2*10*7 + 72 =
      • 100 + 140 + 49 =
      • 289
  • Einfache Onlineübungen

 

1. Binomische Formel - Flächenberechnung

1. Binomische Formel – Flächenberechnung

 

2. Binomische Formel: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

  • Herleitung:(a – b)2 =(a – b)*(a – b) =a*a – a*b – b*a + b*b =a2 – 2ab + b2

 

  • Anwendung
    • Flächenberechnung: Berechnung der Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge: a – b
    • Kopfrechnen mit der 2. Binomischen Formel
      • 17=
      • (20 – 3) =
      • 202 – 2*20*3 + 3=
      • 400 – 120 + 9 =
      • 289

 

 

2. Binomische Formel - Flächenberechnung

2. Binomische Formel – Flächenberechnung

3. Binomische Formel: (a + b) * (a – b) = a2 – b2

  • Erklärung:
  • Anwendung
    • Flächenberechnung: Berechnung einer Fläche, wenn a
      • auf einer Seite um b verlängert (a + b) und
      • auf der anderen Seite um b verkürzt (a – b) wird.
    • Kopfrechnen mit der 3. Binomischen Formel:
      • 53 * 47 =
      • (50+3) * (50-3) =
      • 502– 32 =
      • 2500 – 9 =
      • 2491
  • Einfache Onlineübungen

 

3. Binomische Formel - Flächenberechnung

3. Binomische Formel – Flächenberechnung

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  • Multiple Choice zu den 3 Binomischen Formeln: Onlineübung

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