Lineare Gleichungssysteme

• Definition / Übersetzung
  • Linear = (gerade) Linie
  • Gleichung = zwei Terme haben die gleiche Aussage
• Lineare Gleichung definieren Geraden
• Lineare Gleichungen (mit 2 Variablen) können
  • eine Lösung = Schnittpunkt haben
    • dann ist es eine eindeutige Lösung
    • die Graphen der beiden linearen Gleichungen schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt (z.B.: x = 10, y = -2)
  • unendlich viele Lösungen haben
    • die Graphen der beiden linearen Gleichungen sind identisch
  • keine Lösung haben (die Lösungsmenge ist leer)
    • die Graphen der beiden linearen Gleichungen sind parallel zueinander, sie haben keinen gemeinsamen Punkt

Lineares Gleichungssystem

• Definition
  • ein lineares Gleichungssystem ist die Verknüpfung von zwei lineare Gleichungen (siehe oben)
  • es gibt dazu 3 Verfahren: das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren

Einsetzungsverfahren

Das Prinzip: bei zwei verschiedenen Gleichungen wird die eine Gleichung in die andere Gleichung eingesetzt

Gegeben sind zum Beispiel 2 Gleichungen:

1. Gleichung: 6y + 6 = 2x + 28
2. Gleichung: 6y – 4x = 14

 

Vorgehen

1. Auflösen: eine der beiden Gleichungen wird nach einer Variablen aufgelöst (hier nach: 6y)

6y – 4x = 14      | + 4x

6y = 14 + 4x   

2. Einsetzen:

die eine Gleichung wird in die andere Gleichung eingesetzt

(sodass nur noch eine Variable in den Gleichungen übrig bleibt)

6y + 6 = 2x + 28 (setzte den vorher ausgerechneten Term nun in die Gleichung)

14  + 4x + 6 = 2x + 28

3. Ausrechnen: nach der verbleibenden Variablen auflösen

14  + 4x + 6 = 2x + 28       | – 2x

14 + 6 + 2x = 28 | -20

2x = 8

x = 4

Einsetzen: die ausgerechnete Variable einsetzen, um die andere Variable zu erhalten.

Probe: beide Variablen einsetzen und ausrechnen.

Übungen dazu

Gleichsetzungsverfahren

Das Prinzip: die Gleichungen werden gleich gesetzt.

Gegeben sind zum Beispiel:

1. Gleichung: y – 4x = -11
2. Gleichung: y + 2x = 13

Vorgehen:

1. Umformen: beide Gleichungen werden nach einer Variablen umgeformt

y – 4x = -11 | + 4x

y =  -11 + 4x

und

y + 2x = 13 | – 2x

y = 13 – 2x

2. Gleichsetzen: die beiden Gleichungen werden gleichgesetzt

-11 + 4x = 13 – 2x 

3. Auflösen: nach einer Variablen auflöst

-11 + 4x = 13 – 2x     | +2 x 

-11 + 6x = 13            |+11 

6x = 24                     | /6

x = 4

4. Einsetzen: das Ergebnis einsetzen: für x wird 4 eingesetzt

y – 4x = -11            | + 4x

y – 4*4 = -11 

y – 16 = -11            | + 16

y = 5

Übungen dazu

Additionsverfahren

Das Prinzip: die (gesamten) Gleichungen werden so addiert, dass nur eine Variable in der Gleichung übrig bleibt.

Gegeben sind z. B.:

1. Gleichung: 3x + 7y = 47
2. Gleichung: -x + 3y = 11

1. Umformen: eine Gleichung wird mit einer Zahl multipliziert, sodass bei der (späteren) Addition eine Variable wegfällt.   

-x + 3y = 11        | *3

-3x + 9y = 33    

3. Einsetzen: die erhaltene Variable wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt

3x + 7 y = 47  (Setze y = 5 in die Gleichung)

<=> 3x + 7*5 = 47 

<=> 3x + 35 = 47        | -35

<=> 3x = 12                | /3

<=> x = 4

Übungen dazu

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