Binomische Formeln

Binomische Formeln (Lineare Algebra)

Binomische Formeln

Binomische Formeln

 

Wie lauten die drei binomischen Formeln?

Die 3 Formeln, die zur einfachen Berechnung von Aufgaben in Klammern genutzt werden, lauten:

1. Binomische Formel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. Binomische Formel (a – b)2  = a2 – 2ab + b2
3. Binomische Formel (a + b) * (a – b) = a2 – b2

Wofür braucht man binomische Formeln?

  • Flächenberechnungen: Berechnung der Fläche eines Quadrates, bei
    • Verlängerung der Seite a um b (Seitenlängen a werden um b verlängert: a+b)
    • Verkürzung der Seite a um b (Seitenlängen a werden um b verkürzt: a-b)
    • Verlängerung einer und Verkürzung der anderen Seite (die eine Seitenlänge a wird um b verlängert; die andere um b verkürzt)
  • Kopfrechnen: einfache Berechnung von Quadratzahlen, durch
    • 1. Faktorisierung (Zerlegung) der Zahl in einen Term (z.B. 17 in 10 und 7)
    • 2. Anwendung und Berechnung mit der binomischen Formel
    • Beispiel:
      • 172 =
      • (10 + 7)2 =
      • 102 + 2*10*7 + 72 =
      • 100 + 140 + 49 =
      • 289
  • Kürzen: bei der Bruchrechnung können mittels binomischer Formeln Terme im Zähler und Nenner erzeugt werden, die dann gekürzt werden können.
  • Wurzeln radizieren: Wurzeln quadrieren und mittels binomischer Formel vereinfachen

Binomische Formeln leicht erklärt

 

Die 1. Binomische Formel

Die 1. Binomische Formel lautet: (a + b)2 = a2 + 2*a*b + b2

Dazu kommt man,

  • weil (a + b)2 das Gleiche ist, wie: (a + b) * (a + b)

und dann geht man wie folgt vor:

  • jede Zahl* in der einen Klammer: (a + b)
  • mit jeder Zahl in der anderen Klammer: (a + b)
  • multiplizieren.

Fertig 🙂

Das Ergebnis ist dann: a2 + 2*a*b + b2

*oder Variable (hier a oder b)

 

 

1. Binomische Formel leicht erklärt
1. Binomische Formel leicht erklärt

 

 

Die 2. Binomische Formel – leicht erklärt

Die 2. Binomische Formel lautet: (a – b)2 = a2 – 2*a*b + b2

2. Binomische Formel üben
2. Binomische Formel - Flächenberechnung

Dazu kommt man,

  • weil (a – b)2 das Gleiche ist, wie: (a – b) * (a – b)

und dann geht man wie folgt vor:

  • jede Zahl* in der einen Klammer: (a – b)
  • mit jeder Zahl in der anderen Klammer: (a – b)
  • multiplizieren.

Fertig 🙂

Das Ergebnis ist dann: a2 – 2*a*b + b2

*oder Variable (hier a oder b)

Die 3. Binomische Formel – leicht erklärt

Die 3. Binomische Formel lautet: (a + b) * (a – b) = a2 – b2

3. Binomische Formel üben

Dazu kommt man, indem man so vorgeht:

  • jede Zahl* in der einen Klammer: (a + b)
  • mit jeder Zahl in der anderen Klammer: (a – b)
  • multiplizieren.

Fertig 🙂

Das Ergebnis ist dann: a2 – b2

*oder Variable (hier a oder b)

Binomische Formeln: Alle 3 im Überblick

Übersicht Binomische Formeln
Übersicht Binomische Formeln

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Binomische Formeln

Details und Hintergründe

  • Grundlage: Multipliziert man Binome (zweigliedrige Terme), kann man das Ergebnis zusammenfassen.
  • Erforderliche Methoden: Ausmultiplizieren von Klammern (Distributivgesetz)
    • jedes Glied in der einen Klammer wird mit jedem Glied in der anderen Summe multipliziert

  • Wortbedeutung:
    • Bi = 2
    • nomisch = Namen / Terme
    • => zweigliedrige Terme: a + b

1. Binomische Formel: 

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

  • Herleitung:
    • (a + b)2 =
    • (a + b)*(a + b) =
    • a*a + a*b + b*a + b*b =
    • a2 + 2ab + b2
  • Herleitung – alternative Darstellung
  • Foliensatz

  • Anwendung
    • Flächenberechnung: Berechnung der Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge: a + b
    • Kopfrechnen mit der 1. Binomischen Formel
      • 172 =
      • (10 + 7) =
      • 102 + 2*10*7 + 72 =
      • 100 + 140 + 49 =
      • 289
  • Onlineübungen

1. Binomische Formel - Flächenberechnung
1. Binomische Formel – Flächenberechnung

2. Binomische Formel: 

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

  • Herleitung:(a – b)2 =(a – b)*(a – b) =a*a – a*b – b*a + b*b =a2 – 2ab + b2
    • Herleitung – alternative Darstellung
    • Foliensatz

  • Anwendung
    • Flächenberechnung: Berechnung der Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge: a – b
    • Kopfrechnen mit der 2. Binomischen Formel
      • 172 =
      • (20 – 3)2  =
      • 202 – 2*20*3 + 32 =
      • 400 – 120 + 9 =
      • 289

  • Einfache Onlineübungen
    • 1. und 2. binomische Formel: Onlineübung

2. Binomische Formel - Flächenberechnung
2. Binomische Formel – Flächenberechnung

3. Binomische Formel: 

(a + b) * (a – b) = a2 – b2

  • Erklärung:
  • Anwendung
    • Flächenberechnung: Berechnung einer Fläche, wenn a
      • auf einer Seite um b verlängert (a + b) und
      • auf der anderen Seite um b verkürzt (a – b) wird.
    • Kopfrechnen mit der 3. Binomischen Formel:
      • 53 * 47 =
      • (50+3) * (50-3) =
      • 502– 32 =
      • 2500 – 9 =
      • 2491
  • Onlineübungen

3. Binomische Formel - Flächenberechnung
3. Binomische Formel – Flächenberechnung

Onlineübungen Binomische Formeln

Gemischte Onlineübungen

Übungen zum Download

Online Rechner

berechnet Aufgaben mit der 1., 2. oder 3. Binomischen Formel

Binomischen Formeln mit höheren Potenzen

für Fortgeschrittene


Binomische Formel mit hoch 3

  1. Formel: (a+b)3 = a3 + 3*a2*b + 3*a*b2 + b3

Herleitung:

(a+b)3

=(a+b)2 * (a+b) (vgl. erste Binomische Formel)

=(a2 + 2ab + b2) * (a+b) (ausmultiplizieren)

= a*a2 + a * 2ab + a * b2 + b*a2 + b * 2ab + b * b2

= a3 + 3*a2 * b + 3*a*b2 + b3

Beispiel:
(3z+2)3
=(3z)3 + 3*(3z)2 * 2+3*3z*22+23
=27*z3 + 54z2 + 36z+8

2. Formel: (a-b)3 = a3 – 3*a2*b +3*a*b2 – b3

Binomische Formel mit hoch 4

Formel: (a+b)4 = a4 + 4a3*b + 6a2*b2 + 4ab3 + b4
Formel: (a – b)4 = a4 – 4a3*b + 6a2*b2 – 4ab3 + b4

Binomische Formel mit hoch 5

Formel: (a+b)5=a5 + 5a4*b + 10a3 * b2 + 10a2 *b3 + 5ab4 + b5
Formel: (a – b)5=a5 – 5a4*b + 10a3* b2 – 10a2*b3 + 5ab4 – b5

 

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