Rechengesetze: Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz

Absolutes ‚Must have‘: die Rechengesetze sind das Grundgesetz der Mathematik! Und um diese Grundgesetze kommt keiner herum! Warum? Weil sie in den anderen Themen immer wieder vorkommen, vorausgesetzt und ständig angewendet werden. Entsprechend macht es größten Sinn, die Grundgesetze zu lernen und zu verstehen. Also: lesen, lernen und üben!!!!

Man nennt die Rechengesetze auch:

  • Kommutativgesetz: Vertauschungsgesetz
  • Assoziativgesetz: Verbindungsgesetz und Verteilungsgesetz
  • Distributivgesetz: Verteilungsgesetz oder auch Klammergesetz, bei dem es ums Ausmultiplizieren und Auflösen von Klammern geht

Übersicht der Rechengesetze

Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz

Übersicht Rechengesetze: Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz
Übersicht Rechengesetze: Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz

Übersicht der Rechengesetze als Spickzettel

Rechengesetze - Kommutativgesetz-Assoziativgesetz-Distributivgesetz-Spickzettel
Rechengesetze – Kommutativgesetz-Assoziativgesetz-Distributivgesetz-Spickzettel

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Grundlage: Punkt vor Strichrechnung

Für die Rechengesetze gilt immer die Grundregel: Punkt vor Strichrechnung!

Damit kann man alle Gesetze herleiten, erklären und verstehen.

  • Anwendung:
    • bei Aufgaben, in denen + und – Aufgaben mit  • und : gemischt sind
    • d.h. Aufgaben in denen Addition und Subtraktion mit Multiplikation, Division vorkommen
    • ggfs. auch noch mit Klammern
  • Merksatz: Punkt vor Strichrechnung
  • Übersetzung: Zuerst müssen die Teile mit • und : gerechnet werden, bevor die Teile mit + und – gerechnet werden.
  • Beispiel: 5 + 3 • 2 = 11 (nicht 16)
    • richtiger Rechenweg:
      • 5 + (3 • 2) =
      • 5 + 6 = 11

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1. Kommutativgesetz

= Vertauschungsgesetz der Addition und Multiplikation

  • Kommutativgesetz: Vertauschungsgesetz
  • Übersetzung: commutare = vertauschen
  • Merksatz Kommutativgesetz / Eselsbrücke:  Komm–u–ta-tivgesetz => Komm und Tausche.
  • Anwendung: bei Aufgaben mit mehreren Additionen oder Multiplikationen
    • Einfache Formulierung: wenn die Aufgabe 
      • nur Plusaufgaben oder nur Malaufgaben hat;
      • (d.h. nur Strichrechnung oder nur Punktrechnung (einer Art))
      • darf getauscht werden.
  • Achtung:
    • NICHT wenn eine Mischung von Rechenarten in der Aufgabe steckt!!!!
      • wenn Plus (+) und Minus (-) in der Aufgabe gemischt sind!
      • wenn Plus (+) und Mal (x) in der Aufgabe sind!
    • NICHT bei Subtraktion oder Division !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
  • NUR bei reinen Additionen oder Multiplikationen
  • Gesetz: es ist egal, welche der Additionen / Multiplikationen zuerst gemacht wird
    • Beispiel: 13 + 5 + 7 = 13 + 7 + 5 = 25
    • Beispiel: 2 x 13 x 5 = 2 x 5 x 13 = 130

Achtung, Achtung, Achtung:

  • nicht bei Subtraktion oder Division!
  • auch nicht, wenn Addition und Multiplikation gemischt sind!

Onlineübungen

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2. Assoziativgesetz

= Verbindungsgesetz

= Assoziativgesetz der Addition und Multiplikation

  • Assoziativgesetz: Verbindungsgesetz und Verteilungsgesetz,
    • bei dem es ums Ausmultiplizieren und Auflösen von Klammern geht
  • Übersetzung: Assoziation = Verbindung
  • Merksatz Assoziativgesetz / Eselsbrücke Assoziativgesetz: A-sso–z-iativgesetz: Anders solls zusammen.
  • Anwendung bei: Aufgaben mit mehreren Additionen oder Multiplikationen (ggfs. + Klammern)
    • Einfache Formulierung: wenn die Aufgabe 
      • nur Plusaufgaben oder nur Malaufgaben hat;
      • d.h. nur Strichrechnung oder nur Punktrechnung (einer Art)
      • keine Mischung von Rechenarten
      • d.h. nur Plus oder nur Mal
  • Achtung:
    • nicht wenn Plus und Minus in der Aufgabe sind
    • nicht wenn Plus und Mal in der Aufgabe sind
    • nicht wenn eine Mischung von Rechenarten in der Aufgabe steckt!!!!
  • Gesetz:
    • es ist egal, welche der Additionen oder Multiplikationen zuerst gemacht wird;
    • die Klammern können gesetzt werden, wie man möchte.
      • Beispiel: 2 +(3 + 4) = (4 + 2) + 3 = 9
      • Beispiel: 2 x (5 x 7) = (2 x 5) x 7 = 70
  • Achtung: NICHT wenn Plus und Minus in der Aufgabe sind

Achtung, Achtung, Achtung:

  • nicht bei Subtraktion oder Division!
  • auch nicht, wenn Addition und Multiplikation gemischt sind!

Onlineübungen

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3. Distributivgesetz

= Klammergesetz

= Ausmultiplizieren von Klammern

Rechenarten: Distributivgesetz
Rechenarten: Distributivgesetz

Das WICHTIGSTE Gesetz!!!!

  • Distributivgesetz: Verteilungsgesetz oder auch Klammergesetz
  • Anwendung: bei der Multiplikation oder Division von Summen und Differenzen.
  • Merksatz Distributivgesetz / Eselsbrücke Distributivgesetz: Di–str-i-bu-tivgesetz: Die Stränge bugsieren.
  • Übersetzung: Distributiv = Verteilung
  • Einfache Formulierung: wenn 
    • Plusaufgaben / Minusaufgaben in der Klammer 
    • und Malaufgaben oder Divisionsaufgaben vor der Klammer sind;
    • d.h. Stichrechnung und Punktrechnung (mit Klammer) gemischt. 
  • Beispiel:
    • (3+5) x 2 = 3×2 + 5×2 = 16
    • (16 + 4) : 4 = (16 : 4) + (4:4) = 4 + 1 = 5
  • Grundregel: Jedes Glied vor der Klammer wird mit jedem Glied in der Klammer multipliziert / dividiert!

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Distributivgesetz für Fortgeschrittene

Lernstufe 2: Das doppelte Distributivgesetz

Das doppelte Distributivgesetz
Das doppelte Distributivgesetz

Anwendung: wenn mehr als 2 Summanden (Terme die miteinander multipliziert werden) in der Aufgabe sindAchtung: auch eine einzelne Zahl (im Beispiel unten: 3) kann ein Term sein. (Term: ein sinnvoller Ausdruck) Beispiel: 3 · (a + 5) · (b + 2) = Erklärung: das Beispiel hat 3 Terme:

  • 3
  • (a+5)
  • (b+2)

Vorgehen: alle Terme müssen miteinander (aus-) multipliziert werden. Reihenfolge: in welcher Reihenfolge die Terme (aus-) multipliziert werden, ist egal. Achtung: jeder Term muss mit jedem Term multipliziert werden!

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